y> Z) — ~ P> et <p(x , y, z) — — q

, on aura

(y) = - (yrh \'(z) = - (y-h

♦' (*) = - (y-h *' (1) = - (JL);

donc, faisant ces substitutions, on aura pour l’équation de condition celle-ci du premier ordre.

(^r) — (-yr) *+■ P (jr) - ? (jr) = o.

L’équation donnée F(x,y, z> p, q) — o , fournit ces trois dérivées relatives à x, y, z>

fP‘

rp'

F' (x) -+■ Fi(p)

* fy

F'( 1 ) * fy = ».

F’ (y) -+■ F'(f) « (JL) -+- F'(,) « (±r) = o,

F'(t) -t- F’(p) « Æ> - 4 - F' (,) x (JL) - o,

par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de p ou de q.

Éliminons celles de q, on aura, par la première et la troisième,

fX\ F ‘ (*) __ F ‘ (p)

et substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus du premier ordre, elle deviendra

F‘(x) -t-pF'(i) -t- F'(p) x (!L)

-H F' (il » (y) -+- [pF'(r) ■+■ lf(l)]

où l’on voit que les fonctions dérivées de l’inconnue -p, ne sont qu’à la première dimension , la quantité q étant d’ailleurs une fonction de p, x, y, i, donnée par l’équation F (x, y, g, p, q) = o.

Lorsqu’on aura déterminé, par ces équations, les fonctions p et q, l’équation = p x' -+- qy' aura nécessairement une équation primitive qui sera en même temps l’équation primitive de l’équation du premier ordre proposée

Fl*. P ■ Z. (y), (y) J =

Comparons maintenant l’équation ci-dessus, qui contient les fonctions dérivées de p relativement aux trois variables x, y, £, avec la formule

que nous avons déjà traitée dans cette leçon , et dont nous avons vu que l'équation primitive dépend des trois équations particulières x' — t' L = o, y' — t' M o, i' — l' N = o, nous aurons, en prenant respectivement les variables x, y, p à la place des variables t, y, les valeurs

r— F HA — P F '(p) ■+■ 1 F '(l) AT F'(x) -i-pF'(l) •

F'(p)’ F'ip) • F' (p)

de sorte que les trois équations particulières deviendront

Z'F'(p) — x'CpF'(p) -+- qF'(q)] = O,

p'F'(p) -H X' [F' (x) -+- pF'( z }] = o.

(Voyei, à la fin de cette leçon , la note du C. tn Hachette.^

Comme ces trois équations ne renferment que quatre variables x, y, Z> P’ 011 P° u r ra les réduire à une seule entre deux variables; ainsi la difficulté est rabaissée aux équations de ce genre.

Supposons donc qu’on ait trouvé leurs équations primitives qui renfermeront nécessairement trois constitues arbitraires a, b, c; on pourra en tirer les valeurs de ces trois constantes en x, y, et p; et stipn dénote ces valeurs par P, Q, R, on aura sur le champ, comme nous l’avons démontré, l’équation R <ÿ(P, Q) pour l'équation primitive de l’équation du premier ordre en x, y, z et p, fa fonction <$(P, QJ étant une fonction arbitraire quelconque de P et de Q.

Cette équation, combinée avec l’équation donnée F (x, y, Z> P >*]) ~ °> donnera les valeurs de p.e t q en x, y, g, qui, étant substituées dans l’équation px' -f- qy' , la rendront susceptible d’une équation

primitive en x, y, z> q u i sera l’équation cherchée.

Comme jusqu’ici rien ne limite la fonction <J> (P, QJ , il s’ensuivrait que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités , tandis que, dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d’itne seule quantité ; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables , une fonction arbitraire de deux quantités , par le moyen de ses deux équations dérivées.

Cette difficulté, je l’avoue, m’a long-temps tourmenté; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.

Je remarque d’abord que , comme les trois équations

satisfont , par l’hypothèse , aux trois équations du premier ordre y'F'(p) — x'F'(q) = O, -, Z 'F'(p) — x'fpF’(p) qF'(q)J = O, p’F'(p) -t- x' [F'(x) -t- pF’UJ] = O, avec les constantes arbitraires a. b, c. si on tire de ces mêmes équations

P — a , Q" b, R =. c, les valeurs de x, y, z en fonction de p, et qu’on les substitue dans les équations précédentes, elles deviendront nécessairement identiques ; de sorte que, par ces substitutions, les premiers membres des équations dont il s’agit, deviendront identiquement nuis, quelles que soient les valeurs de p, a, b, e.

Or le premier membre de la première étant multiplié par q, et retranché du premier membre de la seconde des mêmes équations, donne F' (p) x (i' — px' — qy' ).

Donc, si dans la formule z' — px' — . qy', on fait les mêmes substitutions des valeurs de x, y, z en p, le résultat sera encore identiquement nul.

A la place des variables x, y, z on peut, sans nuire à la généralité, introduire les quantités a, b, c, regardées comme variables, en conservant les mêmes expressions de x, y, z en p, a, b, c. Alors, dans la formule z' — P x ' — fc* term es provenant de la variabilité de p, se détruiront mutuellement , puisque ces mêmes expressions rendent cette formule nulle dans le cas où a, b, c sont constantes : elle deviendra donc de la forme A a' B b' —H Ce', dans laquelle

A, B, C seront des fonctions de p, 'a, b, c.

Donc l’équation

Z' — px' — qy' = o deviendra A a' -t- B b' -+- Ce' =z o;

et la condition qui doit la rendre susceptible d’une équation primitive, sera, par ce que nous avons trouvé, c = <p fa, b), puisque la substitution des valeurs de x, y, z en b, c, donne

P = a, Q z=z b, R = c, d’où ces valeurs sont supposées tirées. " Or, en prenant les fonctions dérivées, on a c' — a'<$ '(a)-\-b'Q ' (b). Donc , faisant ces substitutions , l’équation

aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable p disparaîtra d’elle-même de l’équation , puisque sa fonction dérivée p' a déjà disparu.

Alors

Alors l'équation sera entre les deux seules variables a et b , et aura toujours une équation primitive, par laquelle b deviendra fonction de a seul; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction arbitraire Q(<i,b).

Ainsi les deux quantités b et c seront nécessairement, l’une et l’autre, fonction de a seul , mais il faudra qu elles satisfassent à l’équation

A a' B b' -+- Ce' = o.

Soit donc b ^ a, c — <p a, en les substituant dans cette équation, on aura

ce qui donne une relation entre les deux fonctions <$a et ~\^a, et il en restera une d’arbitraire.

Maintenant , si on remet pour a, b, c leurs valeurs P, Q, R, on aura, pour l’équation primitive cherchée, le système des deux équations Q ±=2 \ P, R — <SfP; d’où, en éliminant p, on -aura une équation en x, y, avec une fonction arbitraire. «

TeJIe est la solution directe et complète du problème ; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.

, Prenons pour exemple l’équation du premier ordre

On aura ici F (x, y, 1, p", q) — j — pq ■=. o\ donc

F'(x) = O, F'(y) = 0, F'(l) = I , F' (p) = q, F'(q) = —p. Et les trois équations du premier ordre en x, y, ç, p, deviendront

— qy'-+-px'= o, — qi' 1 p q x' — o, — q p' p x' = o.

Or l’équation 1= p q, donn» q = ; donc les trois équations

dont il s’agit deviendront

Zy‘ — P 1 *' = 0,1' — 2px' — o, ip' — p v x' = o, XII. 1 Cahier. R r

où l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées x', y', j', p', égale à l’unité.

La première et la dernière donnent y' = p' ; d’où l’on tire l’équation primitive y = p -h- a, a étant une constante arbitraire.

Ensuite la seconde et la troisième donnent p ?J = a ip' > savoir# les fonctions primitives logarithmiques sont /. j = /.p‘— \-/.b; d’où l’on tire 1 — b p 1 , b étant une autre constante arbitraire.

Enfin, si dans la première on substitue p' pour y', et bp 1 pour £, on a, en divisant par p bp' — x' zzz o; d’où l’on a, en prenant les fonctions primitives, x bp -+- c, c étant la troisième constante arbitraire.

Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes ,

Maintenant , si dans l’équation 1' — p x' — q y' — o, on substitua pour q la valeur — elle devient — p x' — — — o.

Et si à la place de x, y, on y met les expressions trouvées ci-

dessus en p, a, b, c , en regardant les quantités a, b, c comme variables, 011 a la transformée

p* b' 2 bp p' — p x b' — b po' — p c' — bp p‘ — bp a' = o,

qui, en effaçant ce qui se détruit, et divisant ensuite par p, se réduit à c ' — t— b a 1 r= o.

Donc, faisant b = \a, c z= <$ a, on aura <f'a H- = o; ce qui donne \a =: — cp' et.

Ainsi on aura le système de ces deux équations

R = P, Q = — <yP; ■

Savoir ; •

d’où il faudra élitniner p; et la fonction <$(y — p) demeurera arbitraire.

Nous ferons ici une remarque importante : lorsqu’on a trouvé deux équations primitives renfermant deux constantes arbitraires, comme y — p -4- s, et j = bp 1 , on pourrait- croire qu’en éliminant p on aurait une équation primitive avec deux constantes arbitraires, qui serait^ par conséquent, l'équation primitive complète de la proposée, et d’où l’on pourrait ensuite tirer l’équation primitive générale avec une fonction arbitraire.

On aurait, de cette manière, l’équation 1 = b (y — a)* ;

Mais il est facile de se convaincre qu’elle ne satisfait pas à la

propoposée j =z (—r) x (— car elle donne (-—-) = o.

11 en serait de même si l’on employait, pour chasser p, la seconder et la troisième équation; on aurait alors c = x — V (b z)> savoir,

^ C ^ ; ce qui donnerait (-^-r) = o.

Mais si on employait la première ^et la dernière, on aurait, par

-y~ ' *’ on tire £ = ( x — c )(y — a )>

l’élimination de'p, c — x

cette expression donne (•") — y — a, (—r) =

c ; valeurs

qui satisfont à la proposée.

*La raison de cette espèce de bizarrerie se trouve dans l’équation donnée plus haut, c' — t- b a' = o.

Elle fait voir que les deux quantités a et c peuvent être constantes ensemble; que, par conséquent, les deux équations P ^ a , et R — c ont lieu à-Ia-fois, de sorte qu’en éliminant p on a une équation en x, y, z> et l es deux constantes arbitraires a, c, qui sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Mais l’équation • ne serait pas satisfaite par la simple supposition de a et b, ou de b et c, constantes ensemble ; d’où il suit que les^deux équations

P = a et Q b, ou Q = b et R = c.

prises ensemble, ne satisfont pas à la proposée.

Au reste, on peut trouver l’équatiqn primitive complète, au moyen

Rr 1

d’une seule de ces équations ; car elle donne une valeur de p en •v. y, z> et une constante arbitraire; et comme cette valeur satisfait à l’équation du premier ordre en x, y, z et P > elle rendra l’équation l' — p x' — qy' = o susceptible d’une équation primitive : ainsi il n’y aura qu’à chercher cette équation en y ajoutant une confiante arbitraire, et l’on aura l’équation primitive complète avec les deux constantes.

Ou bien on tirera de l’équation trouvée la valeur de p en x, y, z: et comme p = 0,1 cherchera l’équation primitive , en ne

regardant que 2 et x comme variables. Cette équation pourra alors renfermer une fonction arbitraire de y, qu’on déterminera aisément par l’équation proposée; et comme celle-ci est du premier ordre, la fonction de y renfermera au moins une constante arbitraire ; de sorte qti’on aura de nouveau une équation primitive complète avec les deux* constantes. ' »

Prenons dans l’exemple précèdent la première équation P a , savoir y — p — a.

Elle donne p = y — a; et comme on a q = — — , on aura

Ces deux valeurs étant substituées dans l’équation i' — px' — q y' = o,

donnent z' — (j — a ) *'

par y — a, a pour équation primitive

= o, équation qui, étant divisée

eù c est la nouvelle constante arbitraire.

Or cette équation est la laîrne que nous avons trouve ci-dessus par l’élimination de p.

La même équation p z=. y — a, devient, en substituant pour p sa

valeur (■—) , — y — rf.

Comme il 11’y a ici que la fonction dérivée de z relativement à x, on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme l' — (y — et) x', dont l’équatidh primitive, en regardant y comme constante , est

Y étant une .fonction quelconque de y.

Cette valeur donne, en prenant les fonctions dérivées par rapport

à x et y, (^~) = y — et, (-±r) =. x — Y (y — et) Y

t Substituant ces expressions dans la proposée 1 — (-^r) x (——) ,

on a (y — a) (x — Y) = (y — et) (x — Y) — (y — et ) 1 Y'; d’où l’on tire Y' zzz o; et par conséquent Y = c, en prenant c pour une constante arbitraire.

Ainsi l’équation primitive devient, comme ci-dessus,

Ayant cette équation primitive complète, pour en tirer l’équation

primitive générale on fera c c }et, et on prendra la dérivée par

rapport à a seul ; on aura ainsi le système des deux équations •

z — (y — et) (x q>et), X <ÿet -+- (y et) <J >' et = OJ

d’où il faudra éliminer a.

Pour les comparer aux équations trouvées ci-dessus par la méthode générale, il n’y a qu’à les mettre sous la forme

— <Pet,

(y - et ) 1

Comme la quantité a doit être éliminée , on peut mettre à sa place une quantité quelconque. Si on y met sa valeur y — p , on a les mêmes équations déjà trouvées, d’où il faut ensuite éliminer p.

La théorie des équations à plusieurs variables des ordres supérieurs au premier, est encore très-imparfaite.

Lorsque ces équations admettent une équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur, on peut les regarder comme provenant d’une équation primitive complète de ce dernier ordre avéc deux constantes arbitraires, ainsi que nous l’avons démontré pour les équations du premier ordre; et lorsqu’on connaît, d'une manière quelconque, cette équation primitive, on peut, jfer les mômes principes, en tirer les équations primitives générales et singulières; mais on sait que, dès le second ordre, il y a une infinité d’équations qni ne sont point susceptibles d’une équation primitive du premier ordre, et qui admettent néanmoins une équation primitive absolue sans fonctions dérivées. Nous n’entrerons point ici dans ce détail, qui nous ‘mènerait trop loin, et nous renvoyons, pour ce qui regarde les équations de ce genre, aux traités connus du calcul différentiel.

Sur les Equations primitives des dérivées du premier ordre.

x, y, z étant les coordonnées d’un point d'une surface courbe, l’équation dérivée f(x, y, z, p , q) — o, appartient à la famille de surfaces correspondantes aux differentes formes de la fonction arbitraire qui entre-. dans son équation primitive; mais on peut demander ce que les trois équations (page jio)

y' f" (p) — x‘ F' (q) = o, l' F ‘ (P) ~ *'[pF’(p) q F'(qJ] = o, (E) p' F ‘ (p) ■+■ *’[?’(*) -+■ P F '(lJ] = °»

d'où l’on fait dépendre la recherche de l'équation primitive, représentent en géométrie. Monge a résolu cette question à priori, "en faisant voir que sur tfiiites les surfaces comprises dans l'équation f(x, y, £» p, q) — o, il y a une courbe indépendante de la fonction arbitraire qui entre dans la primitive de celle-ci , et que cette courbe jouit d’une propriété particulière, d’où il a déduit directement les équations (E). Pour faire connaître sa méthode, il est nécessaire d'entrer dans quelques développement : la primitive générale de la dérivée f(x, y, Z.> F >q) — °> P e,,t être représentée par le système des deux équations

- JC'/ l (*■)

chacuned’elles appartenant à une surface, elles déterminent ensemble une courbe d’intersection, qui, étant mobile en vertu du paramètre variable «, engendre une des surfaces comprises dans la dérivée/fx, y, 7, p, q) — o; en changeant. la fonction f, et faisant encore varier a, cette nouvelle forme de fonction étant constante, on engendre une autre surface qui est aussi comprise dans la même dérivée, puisque celle-ci est indépendante des deux paramètres cl et 9 a : or cette courbe génératrice jouit delà propriété, que si on lui assigne plusieurs