A N A L Y S EJ

positions correspondantes à différentes valeurs de a et fa, toutes les surfaces comprises dans l’équation f(x, y, 1> P > ? ) — °> pourront passer par cette courbe considérée dans toutes ces positions, quel que soit le nombre de valeurs de a et fa, d'après lesquelles elles auront été déterminées; en effet, prenant les équations (F) pour celles de la génératrice d’une des surfaces comprises dans la dérivée f(x,y, Z > P > ‘1 ) °> on pourra

considérer les équations F(x, y , a, \a) — o , F' (a, \a) — o, comme celles d’une autre surface comprise dans la même dérivée; or, ayant déterminé sur la première surface un nombre quelconque de génératrices par des valeurs particulières de cl, que je désigne par a', a", a &c. , la seconde surface pourra passer pjr routes ces courbes, si «n suppose = fa -+- (a — a') (a — a.") (a — a") (&c.) ira., -x étant un signe de fonction quelconque ; car cette fonction -j-a se réduira successivement à fa', fa“, fa", &c., lorsqu’on fera a = a', a — a", a = a m , &c.; donc toutes les surfaces comprises dans f (x , y, j, p, q) — o, pourront passer par tant de positions qu’on voudra de la génératrice représentée par le système des deux équations A (x, y, i, a, fa) — o, F' (a) — •. Il s’agit maintenant de prouver que les trois équations dérivées (E) appartiennent à cette même génératrice, à laquelle A longe a donné le nom de caractèristiqut.

Reprenant la notation du calcul différentiel, les équations (E) deviennent

(a) . Pdy — Qdx — O, (b) PJz — dx (Pp -t- Qq) = o,

Supposons que df(x,y, p, q) — Xdx Y dy -t- Zdj ■+■ Pdp ■+■ Qdq = o, et dq — pdx -+• qdy.

De ce que deux surfaces individuelles comprises dans l’équation f(x, y, j, p, q) s= o, et correspondantes l’une à a, paramètre variable de la caractéristique, et l’autre à a -t- da, peuvent avoir un nombre indéfini de caractéristiques communes sans se confondre , il suit que ces surfaces peuvent se toucher, ou, ce qui est la même chose, avoir un contact du premier ordre suivant une des courbes caractéristiques et pour tous les points de cette courbe; or, en admettant le contact, l'équation f (x, y , î» p , q) — o, et sa différentielle Xdx ■+■ Ydy+Zdz-*- Pdp -t- Qdq — O, ont lieu pour l’une et l’autre surface, mais, pour la seconde surface, la quantité a a varié; donc les termes affectés de d a sont nuis : or, dans l’équation f( x , y, p , q) — o, x , y, £ sont des variables indépendantes de a; il n’y a donc que p et q qui puissent varier par le changement de a,- donc I<ÿ

•termes affectés de da seront da(—~ -t — ~ra~) s donc on a P- -jF— y Q-~- — o.

L’équation dç — pdx ■+■ qdy appartient aussi aux deux surfaces individuelles tangentes l'une à l’autre; donc, en lui appliquant le même raisonnement, on en, déduira

da(dx- —■ dy~) = O.

Cet deux dernières équations combinées ensemble, donnent pour équation différentielle de U caractéristique Pdy — Qdx o (a).

On aurait pu supposer que les deux surfaces individuelles comprises dans l'équation f(x,y, p , q) — o, avaient un contact d'un ordre quelconque m, suivant la caractéristique, et on serait arrivé à la même équation (a).

Pour trouver les autres équations différentielles (b) et (c), reprenons réquation

(i) Xdx Ydy ■+■ Zd j -+- P dp -+- Qdq = o, et supposons (a) dp = r dx -t- sdy, (3) dq =z sdx tdy;

les différentielles partielles de (t) deviennent

(4) X -t- px. ■+■ Pr -t- Q.S = O, ( 5 ) Y H- qZ -+- Ps -t- Qt = O. Combinant ces équations avec ces deux-ci,

(6) di — pdx ■+• qdy, (a) Pdy — Qdx — o,

on obtient des équations qui appartiennent à 4a caractéristique: si, dans le grand nombre d’équations tju’on peut obtenir par ce moyen, on distingue celles qui ne contiennent que deux des cinq différentielles dx, dy, d%, dp, dq, elles se réduisent à dix, parmi lesquelles les trois (a), (b), (c) se trouvent comprises.

Mettant dans l’équation (a) pour dy, sa valeur

Zt ~ fàt

,‘on obtiendra l’équation (b).

Pdi — dx (P p -t- Qq) = o Substituant dans (a) pour dy, sa valeur tirée de (2), on aura

Pdp — dx(Pr -t- Qs} = o, équation qui devient, par l’équation (4) P dp -t- dx(X -t- pZ) = 0 (c).

Ayant les équations (a), (b), (c), dont Lagrange fait dépendre l’intégration de l’équation aux différences partielles f(x, y, p, q) = o, la question d’analyse à résoudre, considérée en géométrie, consiste à trouver, pour la caractéristique, deux équations de la forme

il a

fl à déduire de ces équations celle de la surface engendrée par la caractéristique.

Not< du C Hachette.