i.i. üffi < .iv

et on trouvera pàir le calcul

! •. f es-. 2,202585092994045684

On peut exprimer toute quantité variable, par une constante élevée à une puissance variable; alors f exposant de cette puissance devient une fonction de la même quantité, et ceue fonction ; est , dans le sens le plus général , le logarithme de la quantité proposée. D’où l’on voit

que les fonctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles. .. .

Nous dénotons , en général , les logarîthmês d’une quantité par le mots log. mis avant cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi, log. x exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de x, et cette fonction sera donnée par l’équation x :rr a 0 *'*' où a, base de l’exponentielle, sera en même temps la base du système logarithmique.

Pour trouver maintenant la fonction dérivée de log. x, on fera, en général , fx = log. x, ce qui donnera x = à^ x , et mettant x H— ; à la place de x, on aura

équation qui doit être identique , et avoir lieu , par conséquent , quelle que soit la valeur de i. Or , par le développement on a

f (x i) = fx —H if'x -f- '—f x -t-&c., =fx- f-w,

en faisant u = i f'x H f’x H- &c. ;

donc, faisant cette substitution, on aura et divisant par x,

Or, par la formule trouvée ci-dessus, on a , en général,

donc on aura

t H = l —H eu ■

Donc remettant pour « sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de i, on aura cette équation identique ,

-^- = icf'x H— f (V/V S H- cf’x) -+- &c.; et la comparaison des termes donnera d’abord

d’où l'an tire

La comparaison des autres termes donnerais valeurs de f'x , &c.;

mais il est plus simple de les déduire successivement de celle f'x.

La constante c dépend de la base a du système logarithmique par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut , relativement aux logarithmes ; elle s'appelle le module du système logarithmique.

, De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du logarithme <1 une variable , est égale à F unité divisée par cette variable multipliée par !c module du système logarithmique.

Puisque f x = log. x donne f'x zzz -j—, en prenant successivement les fonctions dérivées, d’après la règle générale des puissances, on aura

J ex J ex 1

donc, si on fait ces substitutions dans le développement de f (x -+~ ij, on aura la série

log. x

pour la valeur de log. (x — |— i).

Ainsi ayant le logarithme d’un nombre quelconque x, on peut, par cette série, trouver celui d’un autre nombre plus grand x— t - i, et la série sera d’autant plus convergente , que la différence i des deux nombres aura un moindre rapport au nombre x.

Par. la théorie des logarithmes, on a

log. (*-+-•) — lo g- * = l °g- -7- = lo g- ( « H —

donc, si on fait dans la formule précédente — — y. on aura

8 tc.)i

Soit 1 y — on aura y =r z — 1 ;

log. fi -+- y) = ~ (y — ^ Hformule connue.

donc

' donc

kg- z = 4 Ci- — 1 — {± -r- ■+• ~r- — &c - J-

Cette série n’est convergente, et par conséquent ne peut servir â trouver le logarithme d’un nombre donné j, que lorsque ce nombre diftt-re peu de l’unité; mais on peut la rendre convergente dans tous les cas, par la substitution de y £ au lieu de car, puisque log. y j

est égal à on aura, en multipliant par r ,

kg* l — 7 [Vl — i ~ y(Vl— (Vl— 1 / —

où l’on peut prendre pour r un nombre quelconque positif ou négatif.

Or, quel que soit le nombre £, on peut toujours en extraire la racine d'un degré r, tel que !/z s °it l,n nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra ; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de log. j avec toute l’exactitude qu’on pourra desirer.

Si on prend r négativement, alors y/j devient —, et la série qui exprime log. Z’ devient, en changeant les signes,

kg- z = f /■« ■ ~ -h * f* - ■+• i r « - **.]. L

où tous les termes sont positifs. Ainsi on peut avoir à volonté, pour la valeur de log. une série dont tous les termes soient positifs, ou alternativement positifs et négatifs; car il est évident que ç étant un nombre plus grand que l’unité, y j sera plus grand que l’unité; et j étant moindre que l’unité, y j sera aussi moindre que l’unité; mais les différences seront d’autant plus petites, que l’exposant r de la racine

sera un nombre plus grand : donc y £ — j et i — —, seront positifs

dans le premier cas , et négatifs dans le second.

Si a est la base des logarithmes, en sorte que log. a — i , on pourra , par les mêmes formules , déterminer aussi exactement qu’on t&iŸJI.' Cahier. D

■voudra, la valeur du module c ; car, en faisant log. a — i , on aura c r (*,/ a — i - \ (\/a — i ( r J i)> — bc. ),

ou bien ,

11 est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l’expression de log. £, seront nécessairement convergentes aussitôt qu’on aura extrait de £ une racine r, telle que — 1 sera une

fraction moindre que l'unité ; car alors i — — sera une fraction plus

. • i Vz — 1

peüte encore , puisque t — — = — .

Ainsi, puisque dans la première série les termes sont alternatifs, le second et le troisième, le quatrième et le cinquième, &c. formeront des sommes négatives ; de sorte que la première série donnera

Au contraire, la seconde série ayant tous ses termes positifs, donnera

bg. __L;.

Ainsi , on a tout de suite deux limites pour la valeur de log. £, qu’on peut resserrer autant que l’on veut , en prenant r toujours plus grand.

On aura, par la même raison, si [/a < z,

. ' ccrCJa— i)>r(i -±).

Puisque i — - — ^ ~

1 VZ Vz

il est visible que la différence entre les deux limites de log. £ sera

analyse, ZJ

Jonc , en prenant l’une ou l’autre des Jeux expressions précédentes de log. 2 , on est assuré quej’erreur Æ excès ou en défaut est nécessairement moindre que cette même quantité.

* • Ainsi, on sera sûr d’avoir par ces expressions , le's logarithmes exacts

jusqu’à s chiffres, en prenant la racine £, telle qu’il y ait après la virgule, s zéros avant les chiffres significatifs.

En général , puisque l'erreur va en diminuant à mesure que l’on prend l’exposant r de la racine plus grand , on peut dire quelle deviendra nulle ou comme nulle , si on prend r infiniment grand ; de sorte qu’on pourra regarder alors l'une et l’autre des deux formules

comme l’expression exacte de log. j. c - , 1

On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans la classe des puissances, et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposans croissent ou décroissent depuis zéro, ou le dernier terme des racines dont les degrés vont" en augmentant à l’infini.

C’est aussi sous ce rapport qu’on peut dire qu’à «n nombre donné il répond toujours une infinité de logarithmes , puisque sa racine infinitième a nécessairement une infinité de valeurs differentes.

La meilleure manière d’employer la formule précédente , est de prendre pour r une puissance de 2 , puisqu’on n’aura alors que des extractions de racines carrées à faire. C’est ainsi que Brigs.A calculé les premiers logarithmes. H avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines carrées d’un nombre quelconque , si on s’arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu’il y a de zéros à. la suite de l’unité, lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule , la partie décimale de cette racine se trouve, exactement la moitié de celle de la racine précédente, en sorte que, ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes; c’est ce qui résulte évidemment de la formule précédente.

Ainsi, en prenant r s a 4 *, on trouve pour a = 10, y/tf == I , ooooo ooooo ooooo 00199 7174a 08125 50527.. — — ’ =r o, ooooo ooooo ooooo 00086 73617 375)88 40354. De sorte .que l’on aura *

C'est de ce nombre qu’on a tiré celui qu’on a donné ci-dessus pour la valeur de tv ‘ ■

Si maintenant on veut avoir , par exemple , le logarithme de 3 , on fera z = 3, et employant de même 60 extractions de racines carrées, on trouvera ies nombres suivans :

\/Z — 1 , ooooo ooooo ooooo 00095 *8942 64074 5 893 2 . . . et de ià

Cette méthode est, comme l'on voit, très-laborieuse par le grand nombre d’extractions de racines quelle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales; mais les séries que nous avons données cidessus, servent à la simplifier et à la compléter: car, quel que soit le nombre j, il suffira d’en extraire quelques racines carrées jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre [Jz qui n’ait que l’unité avant la virgule; alors ies puissances de J/j — 1 seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes; par conséquent il suffira toujours de prendre un certain nombre de termes de ia série pour avoir les logarithmes exacts jusqu’à tel ordre de décimales qu’on voudra.

Les logarithmes qui ont l’unité pour module , sont cçux qui se nomment logarithmes naturels ou hyperboliques , parce qu’ils représentent l’aire de l’hyperbole équilatère , rapportée aux abscisses prises jtir une des asymptotes, et que Nepcr a le premier calculées. Leur base est le nombre e ; et pour les distinguer des autres , nous les désignerons simplement par la caractéristique /.

Ainsi 1 . x aura pour fonction dérivée —, et la formule générale x — d lo? ' * deviendra pour ces logarithmes x = r 1- *; de sotte qu’on aura en général d° s ' x = et comme on a trouvé plus haut a = e c , on aura e c !og " ‘ = e", et par conséquent 1 .x = c log. x. D’où l’on voit que les logarithmes d’un même nombre, dans différens systèmes , sont en raison inverse de leurs modules.

Au reste, l’cquation a = t c donne c = 1 . a; d’où il suit que le module c du système logarithmique dont la base est a, n’est autre chose que le logarithme naturel de la même base. Ainsi on pourra , par la suite, substituer l’expression 1. a à la place de c dans les fonctions dérivées de a et de log. x.

De cette manière on aura a \.a pour la dérivée de a*, et — ~ —

ut. a

pour la dérivée de log. x.

. Dans le système des logarithmes des tables usuelles , la base a est supposée égale à to; ainsi le module de ce système sera i.io, dont la valeur est 2,3025850^295)4. . .

Avant de terminer cette leçon , je ne puis m’empêcher d’indiquer un usage très-simple de I4 formule

1 1 Sic.

pour trouver le développement dune puissance quelconque d’une quantité composée d’autant de termes que l’on voudra.

En effet, si à la place de i on met i (p q r Sic. J, on aura

tUr+l+'+teJ— , fcc.;-»-

-h--- - (p — f- Q — 1 — T — }— Sic. y — f- Sic,

Ainsi le terme multiplié par i m sera

(p -t- tf H- r-f- bit.) *

d'un autre côté on a

e< O+f-t-r-t- *'■)= e'I'x e'Wt"

8 cc.); & c.);

x ( i -+- ir H 1 r— -f- &c.J;

Donc ie coefficient de i m dans le développement de ces diflérens produits étant multiplié par 1 . 2. 3... m, sera la valeur de ( p-\- q~\~

Or il est visible que ce coefficient se trouvera composé d’autant de termes de la forme