LEÇON TROISIÈME
Fonctions dérivées des puissances. Développement d’ une puissance • quelconque d’un binôme.
Puisque toute fonction dérivée du premier ordre fx, n’est autre chose que le coefficient de i dans le développement de la fonction primitive fx, après la substitution de x ~f- i à la place de x, il s’ensuit que la recherche de la fonction dérivée d’une puissance quelconque x m se réduit à trouver le terme affecté de i dans le développement de la puissance ( x H— i) m suivant les puissances de /.
Lorsque l’exposant m est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, on démontre facilement par les premières opérations de l’algèbre, que les deux premiers termes de la puissance m
du bicorne x -+r i.j sont x m -4- n/“ ' »; ainsi, lorsque fx — .v”, ou 3; / 4 .v™ , étant un coefficient constant quelconque, on aura
fx=zmAx m ~";
m étant un nombre quelconque rationnel.
Comme tout nombre irrationnel peut être renfermé entre des limites rationnelles aussi resserrées que l’on veut , on en pourrait conclure tout de suite la vérité du résultat précédent pour une valeur quelconque irrationnelle de m, puisqu’on peut, en resserrant les limites, diminuer l’erreur à volonté. Mais comme il est plutôt question, ici de la forme fnême de la fonction dérivée, que de sa valeur absolue dans chaque cas particulier, nous croyons , pour ne rien laisser à desirer sur cette proposition fondamentale , devoir en donner une démonstration aussi générale que rigoureuse.
Puisqu’on a (x — f- i) m ~ x m ( 1 -4 —) m
par les règles de l’algèbre, si on fait, pour abréger, = a, il s’agira
de trouver le coefficient de « dans le développement de ( i - 4 - « )“ quel que soit l’exposaut m. Or, quel que puisse être ce coefficient, comme il doit être indépendant de u , il est clair qu’il ne peut être qu’une fonction de m , puisque l’expression ( 1 - 4 - «)" ne contient que les deux indéterminées us et m. On pourra donc le représenter en générai par Fm, la caractéristique Z’ désignant une fonction déterminée, mais inconnue. Ainsi , comme en faisant a nul, la quantité ( 1 -p-u»)" devient 1" = 1 , on aura
( 1 -4- « 1 " = 1 - 4 - « Fm -4- &c.
On aura donc aussi pour un autre exposant quelconque n ( t - 4 - «}" = 1 - 4 - t* Fn -4- &c.
Multipliant ensemble ces deux équations, on aura
( 1 - 4 - «) == t -4- « ( Fm - 4 - Fn) - 4 - &c.
Car la théorie des puissances repose uniquement sur ces principes que a m x a * = a"’*'", quelles que soient les quantités a, m, n; et on peut même dire que c’est dans ce principe que consiste l’essence des
puissances , lorsque les exposans ne peuvent être exprimés par des nombres. >■ ; . . 11. / t.i T.'-.' '
Ainsi Fm -4- Fn sera le coefficient de « dans le développement de la puissance ( 1 H-") mais ce coefficient doit être représenté par F (m —4- n), puisque la fonction ( 1 -4— «)" devient ( 1 — 4 — a) en y substituant m -4— « pour m. Donc il faudra que la fonction désignée par la caractéristique F soit telle que l’on ait
F (m n ) = Fm -4- Fn,
• m et n étant des quantités quelconques.
Pour trouver d’une manière générale la forme de la fonction d’après cette condition , je supposerai que la quantité m soit changée en m - 4 - T, et que la quantité n le soit en n — i, i étant quelconque ; alors la fonction F (m demeurera la même, et les fonctions Fm, Fn deviendront
donc l’équation précédente donnera
Fm -4- Fn = F (m -4- i ) - 4 - F (n — i ).
Or, par le développement, la fonction F (m i)
devient Fm -4— i F' m -4- F" m -4- &c.,
comme on l’a vu plus haut; et la fonction F (n — i) deviendra de même, en prenant i négativement,
donc l’équation précédente se réduira à celle-ci :
i ( Fm — Fn ) -4- — (F" m -4- F" n) -4- &c. o, ' “ ' 1 ''
laquelle devant avoir lieu quelle que soit la valeur de i, on aura nécessairement , ,
La première de ces conditions donne
F'm = F'ii,
d’où l’on conclut d’abord que la valeur de la fonction F' m doit être
indépendante de fa variable m, puisqu’elle demeure la même en changeant la valeur de cette variable ; et qu’ainsi cette valeur doit être Constante relativement à la même variable.
On aura donc F' m =r a,
a étant une constante; et cette valeur de F’‘m satisfera aussi aux autres conditions , puisqu’on aura
F" m = o, F'" m = o &c. ; et de même F"n = o , F"n o &c. .
Tout se réduit donc à trouver la valeur de la fonction primitive F m, après
la fonction dérivée
ni
Or, il est facile de voir que F m ne peut être que de la forme a m -+-b, b étant une constante arbitraire; car on peut se convaincre qu’il n’y a que cette expression qui puisse donner a pour sa fonction dérivée.
On peut d’ailleurs le démontrer directement ainsi , puisqu’on a en général • * ■ *
On aura, dans le cas présent,
F (m •+■ i) = F ni -t- a i;
et comme / peut être une quantité quelconque, si on fait i = — in, alors la quantité m-\- i deviendra zéro; donc la valeur de F (m -f- i) sera indépendante de ni; elle sera par conséquent égale à une constante b. On aura ainsi
b -jm F m — ■ a m, d’où F m z=z a m -+- b.
Substituant cette valeur de F m, on aura en générai ( i -4- «) m = i H- (a m — t— b) u —f- &c., quelle que soit la valeur de m , a et b étant des constantes indépendantes de m , dont la valeur doit se déterminer par la considération de quelques cas particuliers.
Pour
Pour.cela on fera d’abord m ■= o, et l’on aura ,h
^ = i H- b uù -f- &c.; i ->
donc b = o, On fera ensuite m = i , et l’on aura
i —t— ui = i — f- <* u —f— &c.; donc rr — i ; d’où l’on conclura enfin
Donc , puisque
(x ■+■ i) m = x" ( i -f- u )*, a étant = —, on aura
quel que soit le nombre m, de sorte que la fonction dérivée de Ax m sera en général Arnx m ~ ' comme nous l’avons trouvée d’abord pour le cas de m rationnel. »
La démonstration précédente ne laisse rien à desirer pour la rigueur et la généralité; elle ne dépend que des fonctions dérivées de la forme la plus simple, et fournit, dès le 'commencement, un exemple remarquable de leur usage dans l’analyse.
On peut donc établir pour règle générale, que la fonction dérivée dune puissance quelconque J une variable . est égalé à la puissance J un degré moindre dune unité de la même variable , multipliée par F exposant de la puissance donnée.
De là et de la loi du développement des fonctions, résulte une démonstration aussi simple que générale , et peut être la seule rigoureuse
qu’on ait encore donnée de la formule du binôme pour un exposant quelconque. 1
En effet, puisqu'on vient de trouver que
, Fx = Ax m
donne
Fx = rnAx m — ’ ,
on aura de même, en prenant la fonction dérivée de cette dernière quantité
Fx = m (m — i) Ax m ~ \
XII / Cahier.
i 8 ANALYSE.
et, par ia même raison, on aura, en prenant de nouveau la fonction dérivée ,
F"'x z=zm (m — i ) (m — x)%x m ~~ l
et ainsi de suite.
Donc, puisqu'on a trouvé en générai
F (x-+-i) —fx - 4 - ifx -4- ~f x -+- & c - »
on aura pour le cas de fx = x m , ia série
( x i) m — x m - 4 — mx m ~ ’/ — t—
Si on divise toute l’équation par .v m et qu’on y mette ensuite i à ia place de on aura
(1 H-/V = I +BÎH 1 -/-H — -i*H H&C.
Cette formule résulte de ia précédente, en y faisant x =r t ; mais il n’aurait pas été assez rigoureux de i’en déduire de cette manière, puisqu’on a déjà remarqué que le développement de la fonction f (x-\±i) en puissances entières de/, peut cesser d’être exact, dans des cas particuliers, de la valeur de x.
Si maintenant on multiplie l’équation précédente par a", et qu’on y substitue ensuite b à la place de ai, on aura
( a -4- b ) m = a m -4- ma”'*'’ b -4—
lîOLZli c.
quelques valeurs qu’on attribue aux quantités a, b, m. C’est la formule connue sous le nom de binôme de Newton.
La méthode que nous avons employée plus haut pour trouver directement la fonction primitive d’une quantité constante, peut être appliquée à d’autres cas. En effet, si dans la formule générale
/ (x -4- i) =fx -4- ifx -4 —f x -4- &c.
on fait i — — x,
la fonction f (x -t- i) deviendra indépendante de x, et sera par
ANALYSE. j 9
conséquent égale à une constante b, laquelle sera proprement la valeur de fx lorsque x zzz o. On aura donc ainsi
b=fx — xf'x H — ~^f x — &c. ;
d’où l’on tire
fx — b- f- */'* ~ f x -H &c.
Si maintenant /'x = a, on aura
fx = o , fx — 6, &c. ;
donc
. fx ■=. b ax.
Sifxzzzax, on aura
/"* = a, fx r = o , /"* = o Scc. ;
donc
/ I j d Jt - ttX '1
x — b-h-ax = b .
Si r=: as 1 , on aura • •
f x = 2ax, fx — 2 a, fx o , fx = o , &c,;
donc
x — b -f- ax' — ax'—i = b — | — . — -
.... 3 3 et ainsi de suite. ■ >
En générai si fx =r ax", on aura , en prenant les fonctions dérivées,
f x =3 nax* ~~ fx n (n — i) ax" ~~ &c. ;
donc substituant ces valeurs
fx=zb + - Y I — - H- l} (n ~ a; — &c. ■
Or, on a par le développement
donc
et par conséquent
quel que soit le nombre n;
donc on aura
En effet, la fonction dérivée de cette quantité sera, par la règle générale ,
: ax
la constante b ayant zéro pour fonction dérivée.
leçon' quatrième.
Fonctions dérivées des quantités exponentielles et logarithmiques.
Développement de ces quantités en séries.
La fonction x m dans laquelle x est la variable et m est une constante, conduit naturellement à la considération de la fonction n' , dans laquelle la variable est x, et où a est une constante. Ces sortes de quantités s’appellent exponentielles , parce quelles ne varient qu’à raison de l’exposant.
Pour trouver la fonction dérivée de a”, il n'y aura , suivant le principe général, qu’à substituer x » à la place de x , et développer suivant les puissances de i; le coefficient du terme affecté de i sera la fonction cherchée.
, Cette substitution donne la fonction a‘~^‘ = a* x a'.
Supposons a — i r+- b, oa aura et == (i -f- b)' ; et par la formule générale démontrée précédemment, on aura
a ■ ■ ( j — i — b Y — . i -4 — tb —J— b — t— ^ F — f— &c.
En ordonnant les termes de cette série suivant Igs puissances de i, il est facile de voir que les deux premiers termes du développement de Useront "Y-~
Soit , pour “abréger , . ~ : .
, b' b » b* B c nu b — — — f— — — — — h- &c.
1 7 \ ZL ~ - ' 2 • - . N 3 { T - • - n } N
— a — j 1 etc,
Ou aura Jonc i -4- ci pour les Jeux premiers terme* du développement Je a' ; par conséquent , en multipliant par d , on auto a -\-ca i pour les Jeux premiers termes du développement Je Donc ta ,
coefficient Je », sera la fonction Jérivée Je a” . j, . !..
Le coefficient c JépenJ , comme l’on voit , Je la quantité a, qui est comme la base Je l'exponentielle, et on nomme communément ce coefficient , le module. >■
* On peut ainsi établir cette règle, que la fonction dérivée dune quantité exponentielle ,-est égale à cette exponentielle multipliée par un coefficient constant qui dépend de la base de l'exponentielle , et quon. nomme le module. •* - — • J '- > * t- ■; , r • >" •
Puisque la Jérivée Je a * est ca* , la Jérivée de celle-ci sera c x a’ , et la dérivée de cette dernière sera de même c } a* , et ainsi de suitéw Ainsi, en faisant/* = a’ , on aura •
fx =' ca x . fx 4= c'a*. &c. r Donc, substituant ces valeurs dansée développement de f (x -+- i),
on aura
r+; i jt >x . , . * x .
et divisant par a x ,
a zzz t -4— ci H « f — t— &c.
C’est la série dont nous n’avions trouvé ci -dessus que les deux premiers termes ; elle peut servir , comme l’on voit, à réduire toute puissance en une série ordonnée suivant les puissances de son exposant.
On peut , par cette série , déterminer dîrectemeht la valeur de a en c. En faisant i ^' i^.on aura --■ : ... , -, — ,
a a. 3 ' ' . / fs
Et lorsque c = t , la valeur de a se trouvera exprimée par la série très-simple . ■ . m
- ‘ | J . • J •; . • ,i ,/-> liiî-j KO
■+t!wÎÎ'j.v voitjji - : h
dont la valeur est . ,•> , 1 : •*» . •> vrt.r
a, 7 1 828182845^045 1 aj 5 3<î. . , '-i
C'est le nombre qu’on désigne ordinairement par t, et qui est par conséquent la base des exponenüelies dont le module est l’unité.
. • Ainsi, ën faisant/* == r' on aura simplement /'* = /,/"*=**, &c.;
et l’on aura i: iiv,/ . v
Si dans l’équation trouvée ci-dessus
v.’.i . r’i’ . J'IAi v,!.: t : i *
a' — i -H a -4 +- occ. , on fait i = — , on aura
a c . — i. I — 1 — I — — — ( — t - occ. — t .
Ainsi on a entre les trois constantes <i, c est e, la relation <7* — t, d’où l’on tire a = t c . m. ; • .
Cette équation dpnne aussi ^ — e ; — c ; d’où l’on voit qu’en faisant
Thégatif, «se change en— ; ainsi en faisant ces changemens dans l’équation
donnée ci-dessus , on aura
. \ iflzrz
C — h ; 1 ; 1- otc.
a 2a jü’
dette série est piu$ propre que la précédente à donner la valeur de c, lorsque a est un nombre plus grand que l’unité.
En faisant to, on a .
