LEÇON VINGT-UNIÈME

Des équations de condition par lesquelles on peut reconnaître si une fonction d’un ordre quelconque de plusieurs variables , est une fonction dérivée exacte. — Analogie de ces équations avec celles du problème des Isopérimètres. — Histoire de ce problème. — Méthode des variations.

Toute fonction d’une seule variable peut toujours être regardée comme une dérivée exacte ; car si elle n’a pas naturellement une fonction primitive , on peut toujours en trouver une par les séries , soit en résolvant la fonction donnée en série de puissances de la variable , et prenant ensuite la fonction primitive de chaque terme, soit en employant la série • générale donnée dans la leçon douzième.

Il n’en est pas de même pour les fonctions de plus d’une variable; et quoiqu’on puisse toujours s’assurer , par les règles de la dérivation des fonctions, si une fonction composée de différentes fonctions dérivées résulte d’une fonction primitive donnée , comme nous l’avons vu dans la leçon dix - neuvième , il est souvent difficile de juger si elle est une dérivée exacte d’une fonction quelconque inconnue. Cet objet a occupé les géomètres presque dès la naissance du calcul différentiel ; ils ont cherché des caractères généraux pour reconnaître si une fonction d’un ordre quelconque peut être la dérivée exacte d’une fonction de l’ordre

immédiatement inférieur, ou même d’un ordre inférieur quelconque. Ce sont ces caractères qu’on connaît dans le calcul différentiel , sous le nom de conditions d'intégrabilité , et qu 'Euler et Condorcet ont réduits à des formules générales et élégantes, qui méritent d’être connues.

Pour trouver ces formules de la manière la plus simple , je commence par considérer une fonction V de différentes variables x, y , z> &c. et de leurs dérivées, dans laquelle une de ces variables j et ses dérivées l , z , &c. , ne se trouvent par-tout qu’à la première dimension; il est clair que la fonction V sera de cette forme

V = N Z -+- P{ h- Qz‘ -+- Rf. -h &c. ,

N, P, Q, &c. étant des fonctions de x, y, &c. et de leurs dérivées sans z.

Rien n’est plus facile que de trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre la variable z et les autres.

En effet, si on considère les fonctions dérivées du produit de deux quantités quelconques , et qu’on dénote , comme nous l’avons proposé à la fin de la leçon deuxième, par des traits appliqués aux parenthèses, les fonctions dérivées des quantités renfermées dans ces parenthèses, on a

(PZÏ — P Z P'z :

donc

Pi = (P Z Ï - P'z.

On a de la même manière

Q{ = (Qi/ - Çfi,

(Xi = ((Xif - <2 V

donc

.Qz=(Qi)' — ((Xzr+<¥z>

On trouvera pareillement

Rf = (R i'Z — (Ri)' -+- (R"zZ - A n, z ■

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions dans l’expression de V, elle devient, en ordonnant les termes,

V — (N — P - 4- <2" — R'" -+- kc.Jz -t-(Pz)'— (VT)' H- ( R "l)' — &<-'• h- (Qzf - (R , z7 h- &c.

-+- (Rz'7 —

Comme tous les termes de cette formule, à l’exception de ceux de la première ligne qui se trouvent multipliés par sont déjà des fonctions dérivées exactes, il faudra, pour que la fonction V soit une dérivée exacte, que les termes multipliés par z> savoir:

{N — P' -h Q" — /T -f- &ic.) z

forment ensemble une fonction dérivée exacte.

Or, il est facile de se convaincre que cela est impossible tant qu’on n’établit aucune relation entre z et les autres variables : donc il faudra que ces termes disparaissent d’eux-mêmes de l’expression de V , ce qui donnera l’équation de condition

laquelle devra par conséquent être identique pour que la fonction V puisse avoir, en général, une fonction primitive. Lorsque cette condition aura lieu, la fonction primitive de V sera évidemment

(P — Q' -h R" — Si-C-Jz -4- (Q — R' ~h Scc.Jz' H— (R — &c .)z -4- &c.

En général , quel que soit le nombre des variables contenues dans la fonction V> si l’une d’elles , ainsi que ses dérivées sont linéaires, on aura toujours, relativement à cette variable, la même équation de condition, pour que la fonction V devienne une fonction dérivée exacte , indépendamment d’aucune relation entre ces variables.

Après avoir résolu le cas des fonctions linéaires par rapport à l’une des variables, nous allons réduire à ce cas très-simple la recherche des équations de condition pour les fonctions d’une forme quelconque.

Supposons qu’une fonction V de x, y, y, y', &c., d’un ordre quelconque , soit ia fonction dérivée exacte de la fonction U de l'ordre immédiatement inférieur , indépendamment d’aucune relation particulière entre x et y ; il est clair que si dans ces deux fonctions on substitue à-ia-fois y -+- u , à la place de^y, et conséquemment y y &c. ,

à la place de y , y", &c. , en supposant u une fonction indéterminée de x , ces fonctions continueront d’être l’une la fonction dérivée exacte de l’autre, puisque cette dérivation ne dépend point de la valeur de y : donc elles le seront encore si, après ces substitutions, on les développe suivant les puissances et les produits de u, u', *>", &c.

Dénotons par U la totalité des termes du développement de U, où les quantités «, u, &c. ne se trouveront qu’à la première dimension ;

par U la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, &c.

Dénotons de même par V la totalité des termes du développement de V. où les mêmes quantités u, u, &c. se trouveront à la première

dimension ; par V la totalité des formes où ces quantités formeront deux dimensions , &c.

On aura U ~+- U -+- U £7-4- &c. , pour le développement de U,

et V-+-V-+-V-\-V-+- &c. , pour le développement de V.

Cette dernière série sera donc la fonction dérivée exacte de la première ; et il est facile de voir que chaque terme de l’une devra être la fonction dérivée’ de l’autre , tant que les quantités u , u , a»" , &c. demeureront indéterminées ; car ces quantités netant qu’à la première

dimension dans la fonction V, sa fonction primitive ne pourra contenir aussi que les premières dimensions des mêmes quantités; par conséquent

il n’y aura que le terme U qui puisse être sa fonction primitive. Il en est

de même des termes correspondans V et U, où ces quantités montent à la seconde dimension ; et ainsi de suite.

II faut donc d’abord que la fonction V soit une dérivée exacte , indé-

pendamment d’aucune relation entre x , y et u. Or , puisque V est la partie du développement de V qui ne contient que les premières dimensions de u, u , u", &c. , il est clair que cette fonction ne peut être que de la forme

V = Nu Pu Qu" -4- Ru" -+- & c. ,

les coèfficiens N, P, Q, &c. , étant des fonctions de x,y, y', y", dcc. , sans u. Ainsi tout se réduit à trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit , généralement parlant , une dérivée exacte.

On a donc ici !e Cas que nous venons de résoudre , et il est visible qu’en prenant la variable « à la place de £, et conservant les autres dénominations , on aura l’équation de condition

N — P 1 -H Q" — R"’ -+- 8cc. = o ,

laquelle devant avoir lieu d’eile-même indépendamment d'aucune relation particulière entre x et y, devra être entièrement identique.

Cette équation ayant lieu , on aura pour la fonction primitive de V

( P — u-+-(Q—R'-b-&c.)u-h-(R — 8ic.) u -j- &c.

C'est par conséquent la valeur de la fonction U.

Ayant ainsi la valeur du premier terme U du développement de la fonction primitive U, on pourra en déduire les valeurs de tous les

ii *

termes suivans.f/, U, &c. , par les principes exposés dans la leçon dix-neuvième, en regardant les quantités y, y , y", &c. comme autant de variables indépendantes ; car si l’on représente la quantité U par la fonction

la fonction

développée suivant les puissances et les produits des quantités u, cJ , u", &c. deviendra

F (x,y, y, /, 8cc.) H- « F* (y) -+- a F' (y ) -f- «" F' (y") -+- Scc. H- -j- u- F" (y) -+- u u F •' ( y, y) -f- -J- u' 1 F" (y) -h- &c.

■+• -tt •* F"' (y) F" (y. y J -+- &c.

Je ne renferme ici entre les crochets, pour plus de simplicité, que les quantités par rapport auxquelles il faut prendre les fonctions dérivées indiquées par les accens.

On aura donc ainsi

£ = r«* F" (y) H- « «' F' (y, y') -f- \ J' F " f/JI -f 8c c.

= ttt ** O; + T“ , « (y, y) -4- &c.

Or, ayant trouvé ci-dessus la valeur de U , la comparaison des termes multipliés par (*,<*', &c. donnera

F' (y ) or P — Q' /?" — ' & c .

F'(y") = R — 8cç.

Ayant ainsi les fonctions dérivées du premier ordre par rapport à chacune des quantités y, y, y", &c. , on en déduira, par les règles données , les fonctions déHvées du second ordre et des suivans , par rapport à chacune des mêmes quantités; on aura par conséquent les valeurs des termes suivans 0 > 0 , 8cc. , du développement de U, Or, on suppose

F(x,y,y,y", Scc.) = U,

et 1

F( x, y -f- », y -+- / -hu”, &c,j = 6/-t-è'4-£/+i/ 8cc.

Ainsi

Ainsi on aura

F(x,y-+&,/- 4 -a &c.) —F(x, y, ÿ ,/ ,&.c.),=lS-+-U-+-U-4-8iC.

Par conséquent fa différence des deux fonctions F(x,y-\~u,y'-\-u &ec.) et F (x,y , y" , & c.) sera donnée au moins par les séries.

Représentons maintenant par

la fonction proposée V dont on a supposé que U ou F ( x, y, y , y", &c .) est fa fonction primitive; on aura F (x, y H— u, y ■+•(*', y -f- u ", Scc.) pour fa fonction primitive de f ( x, y -+- u,y' -4- u, y" -H u", Stc.); donc la fonction primitive def(x,y-{-u,y'-{-u',y'-{-u, &c )—/(x, y, y ,y“ ,%fx.) sera donnée.

De ce que nous venons de démontrer, il suit,

i.° Qu’une fonction quelconque de la forme f (x , y, y, y", ôcc.J ne peut avoir une fonction primitive, indépendamment d’aucune relation entre x et y, à moins que l’équation de condition

TV />' 4 <2" R"’ &c. = o ,

trouvée ci-dessus, n’ait lieu d’elle-méme;

2. 0 Que toutes les fois que cette équation aura lieu , la fonction f( x , y u, y -f- c*. y" -+- & c.) — f ( x, y, y, y", Ikc.J

aura nécessairement une fonction primitive, quelle que soit la valeur de u.

Faisons maintenant «=— y, la fonction f fx,y-{-u,y-{-u',y"-{-u", &.c.) se réduira à f (x), et aura par conséquent toujours une fonction primitive, puisqu’elle ne contiendra plus qu’une variable : donc aussi la fonction f ( x > y> y > y • & c -) aura nécessairement une fonction primitive.

Or, ayant supposé que

Nu -{-Pu - f- Qu" -f- Ru" -+- &c.

sont les premiers termes du développement de la fonction proposée V, Supplément. B

lorsqu’on y augmente y de u, y de u, y ' de a", &c. , c’est-à-dire , de la fonction f ( x, y -H u , y -4- a', y" -+- u", & c. ) . il est visible qu’on aura, en conservant la notation adoptée,

N -f (y), P =/' (y'), Q =f (y"), R =f (f). & c. ; de sorte que l’équation de condition deviendra

Cette formule est la même, à la notation près, que celle qu’ Euler avait trouvée d’abord par une méthode indirecte , tirée de la considération de maximis et minimis , et que Condorcet a ensuite démontrée dans son Calcul intégral. Nous venons de prouver non -seulement que la fonction proposée ne peut être une fonction dérivée exacte , à moins que l’équation de condition n’ait lieu , comme Euler et Condorcet l’avaient trouvé , mais encore que si cette équation a lieu , la fonction sera nécessairement une dérivée exacte , ce qui restait , ce me semble , à démontrer ; car la démonstration qu’on en trouve dans le tome XV des Novi Commentarii , de Pétersboürg, est si compliquée, qu’il est difficile de juger de sa justesse et de sa généralité.

Si la fonction proposée contenait non -seulement les variables x, y avec les dérivées y, y, &c., mais de plus une autre variable i, fonction indéterminée de x , avec ses dérivées i , £, & c. , on ferait, par rapport à cette dernière variable , des raisonnemens et des opérations semblables à celles qu’on a faites relativement à la variable y, et on parviendrait à une équation de condition pour entièrement analogue à celle qu’on a trouvée pour y.

Ainsi, pour qu’une fonction quelconque de la forme

soit une fonction dérivée exacte d’une fonction de l’ordre inférieur , indépendamment d’aucune relation particulière entreyet i, on aura les deux équ&ions de condition

• / (x) — [f (y)l-'lfi' &c. = o ;

Et, réciproquement, ces deux équations ayant lieu d elles-mêmes , on sera assuré que la fonction proposée est une dérivée exacte, quelles que soient les fonctions / et

Il se présente ici, avant d’aller plus loin, une remarque importante à faire.

Lorsqu’on a cherché les conditions nécessaires pour qu’une fonction donnée de x, y, y, y ", Sic., soit d’elle-même une fonction dérivée exacte, oft a regardé / comme une fonction de x, mais inconnue ; c’est pourquoi on a supposé que la fonction donnée ne contenait point les dérivées x', x", & c. de la variable x ; car , suivant les principes de la leçon septième , lorsque x est la variable principale dont les autres sont fonctions, on peut faire x'— i , et par conséquent x =o, x" = o, & c.

Cependant, si, pour plus de généralité , on veut regarder (ce qui est toujours permis, èt ce qui a lieu sur-tout dans les problèmes de mécanique) les variables X et y comme fonctions d’une troisième variable t , alors toute fonction dérivée d’un ordre quelconque de deux variables x,y, devra contenir également les dérivées de ces deux variables ; et nous avons donné , dans la leçon citée , les transformations nécessaires pour introduire les dérivées de x dans une fonction où l’on a supposé x'^z i. II faut seulement observer que, lorsque la fonction est censée être une fonction dérivée d’une autre fonction des mêmes variables, il faut dé plus la multiplier par x’ : car si V est une fonction de x.y, y ,/", &c. , où l’on a fait x' = i , laquelle doive être une fonction dérivée d’une autre fonction U, on aura par l’hypothèse If V : et pour détruire la supposition de r' r: i , il faudra substituer à la place des fonctions

primes /’, Cf les valeurs ~t~, ~^r~\ à la place de la fonction seconde /

la quantité on l’a vu

, et ainsi de» fonctions des ordres supérieurs, comme

dans la leçon septième ; ainsi on aura — r- — V, et de là

U == Vx.

Maintenant, si on considère une fonction quelconque dex,y, x ,y, x" , y , &c. , et qu’on demande les conditions nécessaires pour que cette fonction soit une fonction dérivée exacte ; en représentant cette fonction par

/ (x, x', x", &c.; y,/,y"> et faisant, pour abréger,

Y=ro> - [/' qn ■+- v : wr -

on aura, par ce qu’on a démontré plus haut, si les deux variables x et y sont regardées comme indépendantes , les deux équations A — o et Y o , qui devront avoir lieu à-ia-fois.

Mais, si y doit être une fonction de Xj alors en substituant <?>x pour y et les dérivées de <p x, savoir, x 1 <$' x , x cj> x -+- x 1 x > &- c - P ol| r y, y , &c. ; il faudra que la fonction proposée devienne simplement de la forme x F x, comme si on y faisait x' i. Ainsi , si on met dans cette fonction x -4- £ à la place de x, et qu’on développe , en ne tenant compte que des premières dimensions de £ , elle deviendra

où l'on voit que les termes qui contiennent £ , forment ensemble une fonction dérivée, dont la primitive est £ F x , quelle que soit la valeur

de ,

Je conclus de là que si, dans la .fonction proposée où y est censé fonction de x , on substitue aussi x -h £ à la place de x , et qu on développe suivant les termes qui ne contiendront que la première dimension de \ et de ses dérivées, devront former ensemble une fonction dérivée exacte, quelle que soit la valeur de jj . or, y étant x , deviendra par la substitution de x -4- £ à la place de x , cp x -+- £ <? en ne tenant compte que de la première dinfension de donc si on fait , pour abréger, £ q>’ x = « , îï faudra mettre y « à la place de y, tandis qu’on met x -+- £ à la place de x.

Par ces substitutions et ies développemens, les termes de la fonction proposée qui ne contiendront que les premières dimensions de £ , se trouveront représentés par

w oo - 4 - w - 4 - r / ai -+- &<•

*+■ u f (y) -4- <*' f (y) -+- u " f (y ) -4- & c - ; et, par ce que nous avons démontré dans cette leçon, pour que ces termes forment une dérivée exacte, il faudra que la quantité (f (*) - [f (*) ]' -H [f (*")]' — &c.; $

-+■ (f (y) - [f m -4- [f (/JY - &c -^ «

«oit elle-même une dérivée exacte.

Cette quantité est la même choie que X% -h Y « ; donc en mettant pour et) sa valeur £ q>' x , elle devient (X —H Y <p' x ) et il est visible quelle ne peut être une dérivée exacte, indépendamment de la valeur de£, qui doit demeurer arbitraire; donc il faudra que cette quantité s’évqnouisse d’elle -même, et par conséquent qu’on ait l’équation identique X -4- Y <$' x : mais y étant <p x , on a en général y = x <p' x ; donc, substituant cette valeur de <?'*, on aura nécessairement l’équation identique

Xx' -f- Yy‘ = o.

Il suit de là que l’équation de condition X = o , qu’on aurait par la considération de la variable x et de ses dérivées, sera identique avec l’équation de condition Y = o , qui se rapporte à la variable// car, faisant X = o dans l’équation précédente, on a nécessairement o.

On prouvera de la même manière que , pour une fonction composée de trois variables x, y, % et de leurs dérivées, on aurait l’équation identique

Xx' -4- Yy - 4- Zi = o,

en supposant

z =/'(z) - {/an •+■ [fan - t/wr -+- &*■’

De sorte que , dans ce cas , l’équation de condition X — o serait comprise dans ies deux équations Y = o et Z = o.

Ainsi on pourra toujours , dans la question présente , se dispenser d’avoir <5gard aux dérivées de la variable principale, et à l’équation de condition qui en résulterait.

Si on voulait, que la fonction V fût une dérivée exacte du second

ordre, il faudrait de plus que la fonction primitive de V , c’est-à-dire la fonction U, fût elle-même une dérivée exacte : or, on a

U =: p u H— q u -4- r u" -f- &c. , en supposant, pour abréger,

p — P — Q' -t- R" — &c., q — Q — /?' -4- &c. , t — R — &c. , &c. ; et il est facile de trouver, par les mêmes procédés qu’on a employés pour la fonction V , que la condition nécessaire pour que la fonction

U soit considérée comme exacte, indépendamment de la valeur de «, est renfermée dans l’équation

laquelle en remettant pour p , q, r, &c. leurs valeurs, devient P — 2 Q! -+- 3 R" — &c. = o.

Donc, pour qu’une fonction de la forme f ( x. y, y , y", 8cc.J soit une fonction dérivée exacte du second ordre, c’est-à-dire, une fonction dérivée d’une fonction dérivée , indépendamment d’aucune relation particulière entre x et /, on aura , relativement à y , outre la première équation de condition , celle-ci :

et l’on aurait une pareille équation relativement à j, si la fonction proposée contenait aussi j, j', &c.

On trouverait de même, pour que la proposée fut une fonction dérivée du troisième ordre , cette troisième équation de condition , relativement ky:

r (fi - 3 [/' (iv ï‘+ * tr if) Y - ° !

et ainsi de suite.

Enfin , si on suppose qu’on n’ait , pour la détermination d’une fonction u , qu’une équation d’un ordre quelconque entre u , x et y et les fonctions dérivées u, u , &c. , y , y" , &c. , de u et de y, et qu’on demande les conditions nécessaires pour que u soit une fonction de x.y.y ,y" , & c. , indépendamment d’aucune relation entre x et y , le problème pourra encore se résoudre par les mêmes principes , et en suivant la même méthode.

Soit V zzzo l’équation donnée , dans laquelle on suppose que u est une fonction de x, y , y", &c. : si on met par- tout y -+- « à la place de y, et par conséquent y -4- u, y' 1 -f- a ", & c. , à la place de y , y" , &c. , fa quantité a étant supposée , comme ci-dessus , une fonction indéterminée de x , et qu’on développe suivant les puissances et les produits de u, a, u", &c., la fonction V deviendra, comme plus haut,

V V V -t- V &.C . , et l’on aura les équations particulières

Vz=o, V— o, V—o,&c.:

car si on imagine qu’on mette dans V , à la place de u sa valeur, en x, y, y ,y \ &c. , l’équation K = o deviendra identique; donc l’identité subsistera aussi après lÿ substitution de y -t~ u , y H- y" -j- u", Sic. pour y, y , y " , &c. , et le développement suivant «, u', u>", &c. ; et comme ces dernières quantités sont supposées indépendantes de x et y, il est

visible que chaque terme V, V, & c. , qui contient les mêmes dimensions de a, a', u", & c. , devra être identiquement nul dans l’équation développée

Représentons la fonction V par

et dénotons par u, u, 8cc. les différens termes du développement de la fonction u, dans lesquels les quantités w", &c. forment ensemble

une dimension, ou deux, &c. Nous aurons, suivant ia notation adoptée,

V — uf (n) 4- u'f (u) - 4 - u"f'(u") -4- & c.