uf (y) H- uf (y) -4- u"f(y) -4- &c

Or, il est visible que la fonction u ne peut être que de la forme u — Nu -H Pu -4- Qu" -4~ &c.

N, P, Q, &c. étant des fonctions de x, y, y, &c. De là, en prenant ’ » • « les fonctions dérivées relatives à x , on aura les valeurs de u , u , &c. ;

savoir :

u" = N'u 4- (2 N 4- P") u +('iV4-2/ / 4- Q") u 4- Sec.

Ces valeurs étant substituées dans l’expression de V , l’équation V=o devra avoir lieu indépendamment de6 quantités u, u, u", &c. qui doivent demeurer indéterminées.; donc, égalant à zéro les multiplicateurs de chacune de ces quantités, on aura les équations

f(y) H- Nf(u)-+-N'f ( u') -4- N" f (u") &c. = o.

f(y) -+- pf(u) -4- (N-t-P')f (u) -\-(iN-+-P f )f(u") -f- &C. = O. f(y)+Qf'(«)+(P^(ï)f(u)-t-(N+*P'-*Q!. , )f(u) &c. = o.

d’où il faudra éliminer les quantités N, P , Q, &c. : il restera nécessairement une ou plusieurs équations qui seront les équations de condition cherchées ; car il est facile de voir que le nombre de ces quantités ne doit jamais surpasser celui des quantités y,y >y , &c., diminué du nombre des quantités u, u, &c., puisque, dans l’équation proposée, la plus haute fonction dérivée de u ne peut contenir de fonctions dérivées de y, plus hautes que celles qui se trouvent dans la même équation.

Supposons, par exemple, que l’équation soit de la forme (u, u, x,y,y ,y J — o,

on

on fera ici simplement

et l’on aura les trois équations

f'(y) H- Nf(u) -+- N'f(u') = o,'

f'(y') ■+• Pf(*) -+- (X -+?)/'(*) = o, f (/')-+- Pf(»') = O.

La dernière donnera P , fa seconde donnera AL et fa première donnera, par la substitution des valeurs de N et de N', l’équation de condition nécessaire pour que la quantité u dans l’équation proposée, puisse être une fonction de x , y, y , indépendamment d’aucune relation entre x et y. •

On peut étendre la méthode de ce problème à un nombre quelconque de variables et d’équations.

Montrons maintenant, par quelques exemples, l’usage des équations de condition dont nous venons de donner la théorie; et d’abord ne considérons qu'une fonction du premier ordre de la forme / (x , y, y ) : l’équation de condition pour quelle soit une dérivée exacte , sera

f(y) - \fim = o.

Pour que cette équation puisse être identique , il faut que le second tefme ne contienne pas de fonctions dérivées de y plus hatftes que le premier terme f (y) : or, celui-ci ne peut contenir que la fonction// donc il faudra que l’expression f (y ) , dont la fonction dérivée forme le second terme, ne contienne pas y, autrement il entrerait y" dans le second terme. Il suit de là que la fonction proposée ne peut être que de la forme

En la représentant par f (x , y , y), et prenant les dérivées relatives â y et à y , on aura

f (>) = +' ù) -f- J <*'(>)■ Ui) — *(*.>)■

Supplément, C

= N» Pu,

Ainsi l’équation de condition sera

mais

donc f équation se réduit à

comme nous l’avons trouvé par une autre voie, dans la leçon XX. e La fonction proposée, en n’y faisant plus x'zzz i , aurait eu la forme x'^e(x.y) H- y'q>(x,y),

et l’on aurait eu , relativement à x , l'équation de condition

laquelle devient

x'ir'(x) -t- y<p'(x) — 4 r Y x,y) = o;

mais

' V(x,y) = x'1r'(xj -^y'-Y(y);

donc

savoir ;

comme auparavant.

Supposons que la fonction proposée soit du second ordre et de la forme J (x ,y, y ' ,y > ) ; l’équation de condition, pour quelle soit une dérivée exacte , sera

/'(y) - If' (y)]' h- \f(f)V = o.

Il est d’abord évident que, pour que cette équation puisse être identique, il faut que la valeur de f (y) ne contienne point y , autrement la valeur de [f* (y")] contiendrait y""; et comme les termes précédens ne peuvent contenir q uç y , y' t y", y" , le terme contenant y" ne serait pas détruit.

La fonction proposée ne pourra donc être que de la forme

On aura ainsi, en ia comparant à la forme générale f (x, y, y , y") ,

et l’équation de condition deviendra

*(y) *+ rW(y) - [*Y/;ï - bWf/JH + <*" (*>»/) = °-

Or, •

donc

<f( *>yj) = -4- [y'<*'(y)]' -h

Par cette substitution, l’équation de condition deviendra

* (y) +/ q,'^; - [*' f>7T -4- [ <l>YWy -+- [y' 9' ^ y = o.

Supposons, pour abréger,

<?'(*) -h y $ (y) - V(y) = *(*>yj).

ia caractéristique $ dénotant une fonction connue de x,y,y, puisqu’en effet cette expression ne contient que les trois quantités x, y, y ; on aura l’équation

mais

donc l’équation de condition se réduira à

Or, il est visible que la quantité y“ n’entre point dans les fonctions dérivées suivant x et y, puisqu’elle n’entre point dans les fonctions primitives représentées«par les caractéristiques 'P, cp et $ ; donc, pour que

I équation puisse être identique, il faudra que les ternies multipliés par y disparaissent, par conséquent l’équation de condition se partagera en ces deux-ci :

qui devront avoir lieu séparément pour que la fonction proposée soit une dérivée exacte.

Supposons, pour donner un exemple particulier, que cette fonction soit

on aura ici

— JL

xy ’

* (*>?./) = 7 jr-> et <?> (*>*/) = y

De là on tirera

ïr> *U)

Ainsi les deux équations de condition deviendront

zxy’ *

qui se vérifient, comme l’on voit, d’elles- mêmes. En effet, la fonction

proposée est la dérivée de •

En général, il est facile de prouver que l’équation de condition

f(y) - \/(y))' H- ITfyJÏ - = o .

ne saurait être identique, à moins que la plus haute des fonctions dérivées y, y", &c. qui entrera dans la fonction proposée f (x , y, y , y" , Sic.) n’y soit qu’à la première dimension , afin quelle puisse disparaître dans ia fonction dérivée qu’on prendra relativement à cette même dérivée de y ; d’où il suit que si ia fonction proposée est de l’ordre n , elle ne pourra être une fonction dérivée exacte , à moins quelle ne soit de la forme

ce qui s’accorde avec ce que nous. avons vu dans ia leçon XIII.*

Ensuite on peut aussi prouver que, de même que pour les (onctions du second ordre , l’équation de condition se décompose en deux , qui doivent avoir lieu à-Ia-fois : pour les fonctions du troisième ordre, elle se décomposera en trois; et pour les fonctions du quatrième ordre, elle se décomposera en quatre, et ainsi de suite.

Enfin, pour donner aussi un exemple d’une fonction dépendante d’une* équation, nous prendrons l’équation

et nous chercherons les conditions nécessaires pour que la fonction u soit une fonction de x et y.

En comparant cette équation à la forme générale f(u, u, x,y,y) = o ,

on aura

f(u,u',x,y,y ) — u — if(u,x,y ) — /<f >(u,x,y); et de là on tirera ces valeuts :

Comme la fonction ne contient point y", on aura

et la dernière des trois équations de condition trouvées ci-dessus pour le cas dont il s’agit , donnera sur-le-champ P zz: o ; ce qui réduira les

deux premières à

— *•( y) —y <*'(>) — N[Ÿ(u) +/<?(u)] -+- AT — o ,

La dernière donne

donc substituant dans la première, et changeant les signes, on aura Ÿ (y) -y-y Q (y) -+- [ * Y u ) -+-/ <$’(«) ] *$(“•*, y) — q>'(u,x,y) — o.

Mais v

<p'{u,x,y) = vQ'(u) -f- <ÿ(x) -hyQ'(y),

et la proposée donne

u ~ (u,x, y) -+- y Qf (u, x, y) ;

donc, faisant ces substitutions, et effaçant ce qui se détruit, on aura cette équation de condition

V (y) -f- Ÿ (u)* Q(u, x,y) — <$' (x ) — <$'( u)x-ir (u.x.y) z= o,

qui est la màme, en changeant u en j, que celle que nous avons trouvée directement dans la leçon XX. C , pour que l’équation dérivée à trois variables puisse admettre une équation primitive entre ces variables.

Le problème que nous venons de résoudre sur les équations de con- ' dition qui doivent avoir lieu pour qu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées, ait une fonction primitive indépendamment d’aucune relation entre ces variables, a une connexion intime avec un autre problème plus important, qui a exercé les géomètres pendant près d’un siècle. C’est le fameux problème des isopérimètres, qui, pris dans toute son extension , consiste à trouver les équations qui doivent avoir lieu entre les variables, pour que la fonction primitive inconnue d’une fonction donnée de ces variables et de leurs dérivées , devienne un maximum ou un minimum.

Les mêmes formes d’équations résolvent les deux problèmes , mais avec cette différence que , pour le premier , les expressions doivent étre r

identiques, et se vérifier d’elles-mêmes; au iieu que dans le dernier problème elles deviennent les équations nécessaires entre les variables pour l’existence du maximum ou du minimum.

On verra la raison de cette identité des résultats par l'analyse que nous allons donner du problème des isopérimètres; mais nous commencerons par une histoire succincte des différentes tentatives que les géomètres du dernier siècle ont faites pour parvenir à une solution générale de ce problème , et qui ont conduit par degrés à la méthode connue sous le nom de Calcul des variations.

Les questions de maximis et de minimis n’ont pas été inconnues aux anciens géomètres; car on a un livre entier à! Apollonius , qui traite presque uniquement des plus grandes et des plus petites lignes droites qui peuvent être menées de points donnés aux arcs des sections coniques.

La méthode d' Apollonius se réduit simplement à prouver que toute ' autre droite menée du même point à la section conique, serait plus petite dans le cas du maximum , et plus grande dans le cas du minimum , que celle qu’il a déterminée; et cette méthode a été suivie par tous ceux qui, après lui , ont cherché à résoudre, par la simple géométrie, des problèmes relatifs aux maxima et aux minima.

Fermât est le premier, comme nous l’avons vu dans la leçon XIX. f , qui ait donné, pour la solution des problèmes de ce genre, une méthode directe et analytique, qu^ l’algorithme du calcul différentiel a ensuite simplifiée et généralisée ; elle se réduit, comme l’on sait , à égaler à zéro la différentielle ou la fonction prime de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum , en regardant comme variable l’inconnue par rapport à laquelle la fonction donnée doit devenir la plus grande ou la plus petite ; et nous avons exposé ailleurs (Théorie des Fonctions) les principes et la marche de cette méthode considérée dans toute sa généralité.

On peut dire que c’est à la considération des courbes qu’on- doit les principales méthodes de l’analyse. La détermination des plus grandes et des plus petites ordonnées dans les lignes et, dans les surfaces courbes, avait donné naissance aux questions de maximis et de minimis , dont nous

venons de parler ; mais on s’éleva bientôt à des problèmes d’un genre nouveau et beaucoup plus difficile. 11 s’agissait de trouver les courbes mêmes dans lesquelles des quantités dépendantes de toute l’étendue de la courbe cherchée, prise entre des limites données , fussent un maximum ou un minimum, par rapport à toutes les autres courbes possibles; comme, par exemple, la courbe qui renferme le plus grand espace suivant des conditions données, ou qui produit, par sa révolution, le plus grand solide entre des limites données , &c. : mais c’est la mécanique qui a fourni les premiers problèmes de ce ncfttveau genre. Newton a cherché le premier (a courbe qui, en tournant amour de son axe, produit le solide qui étant mu dans.un fluide suivant la direction de son axe, éprouve la moindre résistance possible , et il a donné, sans démonstration , une proportion qui suffit pour construire la courbe par les tangentes, et qui en est comme l’équation différentielle.

Mais c’est prpprement du fameux problème de la brachystochrone , ou ligne de la plus vite-descente, proposée en 1693 , par Jean Bernoulli , que date la decouverte d’une analyse propre à ces sortes de recherches.

Suivant l’esprit du calcul différentiel, qui suppose les courbes formées d'une infinité de droites infiniment petites, on considère deux côtés contigus de la courbe cherchée, et on détermine leur position respective, de manière que la quantité proposée devienne un maximum ou un minimum, en ne faisant varier que l’ordonnée qui répgnd à l’angle formé par ces deux côtés. De cette manière , le problème rentre dans l’ancien genre , et la difficulté ne consiste plus qu’à ramener le résultat de la solution à la forme différentielle. C’est ainsi qu’on a trouvé d'abord que la courbe de la plus vite - descente doit être telle que le sinus de l’angle qu’-un de ses côtés quelconques infiniment petits fait avec la verticale, soit proportionnel à la vitesse , laquelle est comme la racine carrée de la hauteur d’où le corps est parti; et cette proportion réduite en équation différentielle , donne la cycloïde. On a trouvé de la même manière que le solide rond de la moindre résistance, est formé par une courbe qui a la propriété énoncée par Newton, dans le scholie de la proposition XXXV de la

seconde

seconde partie de ses Principes. On a appliqué ensuite la même méthode à des problèmes plus compliqués, tel que celui des isopérimètres, où il s’agissait de trouver entre toutes les courbes possibles qui ont le même périmètre ou la même longueur, celles qui, entre des limites données, renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, où, en faisant une révolution autour de leurs axes, produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies, ou les plus grands ou les plus petits solides, ou enfin une courbe telle qu’en construisant sur son axe une seconde courbe dont les ordonnées soient des fonctions quelconques des ordonnées et des arcs de celle-là, faire de la seconde courbe forme un maximum ou un minimum ; et les difficultés de ces problèmes, jointes à la célébrité que les recherches des deux frères Bernoulli , de Taylor et à' Euler leur acquirent, ont fait donner en général le nom A' isopérimètres à tous les problèmes dans lesquels if s’agit de trouver des courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou de minimum , avec ou sans la condition de l’égalité des longueurs de la courbe. ‘

Lorsqu’on veut avoir égard à cette condition , il ne suffit pas de faire varier une seule ordonnée , comme dans les problèmes où on demande un maximum ou un minimum absolu ; il faut alors faire varier à-ia-fois deux indéterminées, tant dans l’expression qui doit être un maximum ou un minimum, que dans celle qui doit demeurer constante, et égaler séparément à zéro les résultats de ces variations, ou les différentielles de ces deux expressions , comme dans les problèmes ordinaires de maximis et minimis , lorsqu’il y a quelque condition particulière à remplir entre les variables.

Jean Bernoulli, dans un Mémoire destiné à résoudre les problèmes sur les isopérimètres proposés par son frère Jacques , et qui se trouve dans le Recueil de l’Académie des Sciences de 1706, avait cru pouvoir satisfaire à-la-fois à la condition du maximum ou du minimum , et à celle de i'isopérimétisme , en ne considérant que deux élémens ou côtés de la courbe , et en faisant varier à-la-fois l’abscisse et l’prdonnée qui répondent à l’angle de ces deux lignes droites, de manière que leur somme demeurât Supplément. D

constante. En effet, si ia question roulait sur des quantités finies, elfe pourrait se résoudre de cette manière ; mais il arrive ici, par la nature des infiniment petits, que lequation finale devient purement identique, et ne fait par conséquent rien connaître. Jean Bernoulli parvint à un autre résultat, et crut avoir ainsi résolu les problèmes; mais son analyse est erronée, et pèche contre les principes du calcul infinitésimal.

Jacques Bernoulli est le premier qui ait reconnu dans ces sortes de questions ia nécessité de considérer trois côtés consécutifs de la courbe, et de faire varier à-la-fois les deux ^données consécutives qui répondent aux angles formes par ces côtés. C’est sur ce principe qu’il a fondé son analyse du problème des isopérimètre#, intitulée Analysis magni problematis isoperimetrici , et publiée à Bâle en 1 70 1 , et dans les Actes de Léipsic de la même année ; et le même principe a servi de base ensuite aux solutions données par Taylor dans son Methodus incrementorum ; par Jean Bernoulli , dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1718; et par Euler, dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Pétersbourg.

Par la considération d’une partie infiniment petite de la courbe regardée comme composée de deux ou de trois lignes droites, les problèmes se réduisent à l’analyse ordinaire ; et la difficulté ne consiste plus qu'à traduire les solutions en équations différentielles, par les substitutions des valeurs des ordonnées et des abscisses successives exprimées en différences , en ayant soin de ne conserver que les termes du même ordre, suivant la loi de l’homogénéité des quantités infiniment petites : mais les résultats obtenus de cette manière se présentent rarement sous une forme générale et applicable à tous les problèmes du même genre. De plus, il y a des cas où il ne suffit pas de considérer une portion infiniment petite de la courbe, parce que la propriété du maximum ou du minimum peut avoir lieu dans la courbe entière, sans avoir lieu dans chacune de ses portions infiniment petites; ce sont ceux où la fonction différentielle , dont l'intégrale doit être un maximum ou un minimum, contient elle-même une autre fonction intégrale, à moins que, par les conditions du problème, cette intégrale ne doive avoir une valeur constante; ♦

par exemple , lorsque la fonction dont l’intégrale doit être un maximum ou un minimum , dépend non-seulement des abscisses et des ordonnées et de leurs différences, mais encore de l’arc même de la courbe, lequel n'est donné, comme l’on sait, que par une expression intégrale : dans ce cas, les solutions qu’on trouverait par la simple considération d'une portion infiniment petite de la courbe, seraient inexactes, à moins que la longueur de la courbe ne fû^ supposée constante , comme dans les problèmes des isopérimètres.

A plus forte raison, il ne sera pas permis de n’avoir égard, dans le calcul , qu’à une petite portion de la courbe , lorsque la fonction différentielle dépendra d’une quantité donnée , simplement par une équation différentielle non intégrable en général; c’est pourquoi on doit regarder comme fausse la solution qu 'Euler lui-même a donnée du problème de la brachystochrone dans un milieu résistant comme une fonction de la vitesse , dans le tome VII des Anciens Commentaires de Petersbourg , et dans le second volume de sa Mécanique , et on peut s’en convaincre en la comparant à celle qu’on trouve dans son ouvrage de iy44< intitulé Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes (Art. 46).

C’est proprement dans ce dernier ouvrage qu 'Euler a*donné une solution générale et complète du problème des isopérimètres. Pour trouver les conditions du maximum ou du minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe , et il en déduit la valeur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum , en substituant à la place des ‘différentielles de l’ordonnée, les différences successives des ordonnées consécutives, et à la place des expressions intégrales, les sommes des élémens répondant à toute l’étendue de la courbe. Son calcul devient ainsi très-long, sur-tout par les suites infinies qui s’y mêlent, lorsque la fonction proposée contient différentes intégrales , et dont il faut déterminer la somme pour parvenir à des résultats nets et précis; et on ne peut trop admirer l’adresse avec laquelle l’auteur surmonte ces difficultés , et obtient, en dernière analyse, des formules simples, générales et élégantes.

Son ouvrage est d'ailleurs très-précieux par le nombre et la beauté des exemples qu’il contient, et il n’y en a peut-être aucun qui puisse être plus mile à ceux qui désirent s’exercer sur le calcul intégral.

Jusqu’alors on avait traité séparément, et par des procédés difFérens, les problèmes où il suffit de varier une ordonnée, et ceux qui demandent la variation de deux ou de plusieurs ordonnées consécutives.

Euler a remarqué le premier que tous les problèmes de ce genre pouvaient être rappelés à une même analyse, parce que l’uniformité qui doit régner dans les opérations relatives aux difFérens points d’une même courbe fait que , dès qu’on a trouvé le résultat de la variation d'une ordonnée, la même expression rapportée à l’ordonnée qui suit immédiatement, donnera aussi le résultat de la variation de cette ordonnée, et ainsi des autres.

Cette remarque a conduit Euler à un beau théorème, et de la plus grande utilité dans cette matière ; c’est que , pour trouver une courbe qui ne jouisse d’une propriété de maximum ou de minimum que parmi toutes les courbes qui ont une ou plusieurs propriétés connues, il suffit d’ajouter à l’expression de la propriété qui doit être un maximum ou un minimum , celle des autres propriétés connues, multipliées chacune par un coèflicient constant at arbitraire , et chercher ensuite la courbe dans laquelle cette expression composée sera un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles.

En effet, si on désigne, comme Euler, par «v ou simplement par v, l’incrément infiniment petit de l'ordonnée y, et par P.v la valeur différentielle de la formule intégrale indéfinie fZdx , qui doit être un

maximum ou un minimum, on aura P . u pour la valeur différentielle de

la même formule, provenant de l’incrément u> de l’ordonnée suivante/,

en supposant que P soit ce que P devient lorsque y devient y, et que toutes les autres variables sont rapportées à l’ordonnée y.

Et l’on aurait de même P . or pour la valeur différentielle de la même

formule, provenant de l’incrément 7r de l’ordonnée suivante^, où P

est ce que devient P lorsqtte y devient^, et ainsi de suite.

Or, en regardant, suivant les principes du calcul différentiel, les

ordonnées y, y, y, &c. comme infiniment proches, on a

' y — y -4- dy , y — y H- idy - 4 - ;

par conséquent on aura aussi

P = P-hdP, P = P-y- zdP -f- d'P, &c.

Ainsi, en faisant varier à-la-fois les deux ordonnées voisines y et y, la valeur différentielle de fZdx sera

P.i + ('/’ + dP) . u ;

et en faisant varier les trois ordonnées voisines y, y» y, sa valeur différentielle sera

P . V -H — (P -4- dP) U H— (P *4— 2 dP — (- d 1 P ) 7T , et ainsi de suite.

II en sera de même de toutes les autres formules semblables.

Donc, pour les courbes où la formule fZdx doit être un maximum ou un minimum absolu^ on aura, en ne faisant varier qu’une ordonnée, * l’équation Z 5 .» = o, laquelle donne Z— o,

Pour les courbes .où fZdx ne doit être qu’un maximum ou un minimum relatif parmi toutes les courbes qui ont une propriété commune exprimée par la formule fYdx, si on représente par Qv la valeur différentielle de fYdx due à l’incrément de y , on aura, en faisant varier deux ordonnées, et égalant à zéro les valeurs différentielles des formules fZdx et fYdx, les équations

P .1 -4- (P -4- dP) u = O,

<2 -v -f- (Q -4- dQ) u = o.

lesquelles donnent celle-ci :

dont l’intégrale est

P -4- aQ = o, a étant une constante arbitraire.

Cette équation est, comme l’on voit, la même que celle qu’on trouverait pour le maximum ou le minimum absolu de la formule fZdx-t-aJYdx, en ne faisant varier qu’une seule ordonnée.

Si la même formule fZdx ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules fYdx et fXdx conservent les mêmes valeurs , on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler séparément à zéro les valeurs différentielles des trois formules dont il s’agit.

Ainsi, en dénotant par R.i la valeur différentielle de fXdx provenant de l’incrément v, on aurait ces trois équations

P .» -+- (P -+• dP)u H- (P -4- idP H~ d l P)mr “ o,

<2- v H- (Q -4- dQ) u -4- (Q -4- idQ -4- d l Q)-7r = o,

R.i -4- ( R -4- dR)a -4- (R H- 2 dR -4- d z R)nr = o;

savoir ,

P(v -4- u H- mr) -4- à P (a -4- îmr) -4- d'P.mr = O,

Q( v -4- u -4- mrj -4- dQfu -4- 2 tt) -+- d‘Q.mr rr? o,

R(v — |— cé — |— TT J H- d R( c* -4- 2 v r) -4- d'R.-x = o.

Éliminant deux des quantités v, u, nr, la troisième s’évanouit d’ellemême , et on obtient une équation différentielle du second ordre entre les trois variables P, Q, R, dont par conséquent l’intégrale complète renfermera trois constantes arbitraires : mais, sans chercher cette équation différentielle , il est facile de s’assurer que l'équation

P -4- aQ -4- bR — o

satisfait aux trois équations ci-dessus , quelles que soient les valeurs des

coèfficiens a , b , pourvu qu’ils soient constans ; car , en multipliant la seconde équation par a, la troisième par b, et les ajoutant à la première, on aura une équation identique, en vertu de l’équation supposée; et comme cette équation contient deux constantes arbitraires a et b, il s’ensuit quelle sera nécessairement l’intégrale complète de l’équation du second ordre dont il s’agit, et l’on voit en même temps qu’elle n’est autre chose que celle qui donne le maximum ou le minimum absolu de la formule

fZdx -H afYdx “I- b/Xdx.

Au reste, je dois observer que, dans les premières solutions qui ont été données du problème des isopérimètres par les Bernoulli, Taylor et Euler lui-même, la valeur différentielle de la formule fZdx qui doit être un maximum ou un minimum parmi toutes les courbes isopérimètres , n’est pas de la forme

Pi Pu,

lorsque la fonction Z contient l’arc s de la courbe , ce qui est contraire à la théorie d’ Euler , qu’on vient d’exposer.

Par exemple, dans la solution de Taylor, qui est une des plus simples,, si on y substitue les dénominations précédentes , qu’on suppose

dZ = Lds -t- Mdx -+- Ndy,

et qu’on fasse , pour abréger , — q, on a cette valeur différentielle

• j il

(N -t- Lqjdx.i -I- {N -+• Lq)dx.u,

provenant des variations v et u des coordonnées y et y dans les trois

t it

élémens Zdx -+- Z dx -t- Zdx , qui sont les seuls que Taylor considère.

Mais je remarque que cette valeur n’est pas la valeur différentielle complète de la formule intégrale fZdx; car, par les formules exactes de l’ouvrage cité d’ Euler , la seule variation * de l’ordonnée y , dans la formule fZdx , donne la valeur différentielle

[Ndx — d.(H — /Ldxjq]i,

où H est la valeur de fLdx, correspondante à une abscisse donnée a, pour laquelle fZdx doit être un maximum ou un minimum ; de sorte que, pour les deux variations simultanées » et «, la vraie valeur différentielle sera ■

[Ndx — d.(H — /Ldx)q]i H- [ Ndx — d. (H — fLdx)q]c*.

On voit d’abord par là que la valeur différentielle de Taylor donnerait une solution fausse , si on voulait l’employer à trouver la courbe dans laquelle fZdx serait un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles , dans lequel cas il suffit d’avoir égard à la variation d’une seule ordonnée; car en égalant à zéro cette valeur différentielle, et supposant u nul , on aurait l’équation

IV — f— Lq — o;

tandis que la solution A’ Euler donnerait

Ndx — d. ( H — / Ldx ) q — o ,

qui est la véritable équation du problème.

Dans le cas des isopérimètres, il arrive néanmoins que les deux solutions s’accordent; car alors la propriété commune des courbes est l’arc s, c’est-à-dire la formule f \Y (dx l -h dy l ) , ou ( i -{-p 1 ) dx , en faisant

p = —^y-; ainsi on a de plus la formule fYdx, ou Y j/ (i -f- p l ) ,

dont la valeur différentielle doit être nulle , en même temps que celle de fZdx.

Or, par la construction et l’analyse de Taylor, on a pour cette formule la valeur différentielle

— dq. y — dq.cè\

et par les formules de l’ouvrage d’ Euler, on a de même — dq . v pour la valeur différentielle due à la seule variation v ; de sorte que, pour les deux variations v et u , on aura également

— dq.v — dq.u.

Ainsi,

Ainsi, suivant Taylor, on doit avoir, dans ce cas, les deux équations ( N -+- L q ) 1 — ( N — t— Lq )c* o ,

dq.'t -t- dq.u = o,

lesquelles donnent, par l’élimination de » et a, celle-ci:

(N -I- Lq) dq =S (N H- Lq) dq ;

savoir, en substituant N-t- dN pour N, L-\-dL pour L, dq-^-d'q

» il

pour dq , et q -+- idq -+- d'q pour q, et effaçant ce qui se détruit,

N d'q -f- Lqd'q — dNdq — qdLd'q — îLd'q — 2 dLd'q — Ldqd'q — d Ldqd'q = O.

Mais les trois derniers termes sont du troisième ordre , tandis que les premiers ne sont que du second ; ainsi , en rejetant les trois derniers comme infiniment petits vis-à-vis des autres, on a simplement l’équation du second ordre

N d'q -+~ L qd'q — dNdq — qd Ld'q — 2 Ld'q — o ,

comme Taylor le trouve.

Suivant Euler, les deux équations seraient

[Ndx — d.(H — fLdxJq] -+- [ Ndx — d.( H — fLdxJq] d q .1 H- dq.

mais

d.(H — fLdx)qz =. — Lqdx'-\- (H-fLdx)dq,

d.(H — fLdxJq =r — Lqdx -+• (H — — fLdxJdq

= — Lqdx -+- (H — fLdxJdq — Ldxdq, Supplément, E

à cause de

f Ldx = fLdx -f- Ldx ;

s • is-

donc, en observant que q H- dq = q , la première équation devient, [(N -h Lq) d.\ — (H — fLdx)dq]v -H [(N -f- Lq) dx — (H — fLdx )dq]u = o; laquelle, en vertu de la seconde, se réduit à celle-ci:

(N -4* Lq) i —H (N -t— Lq)u> = o, qui est la même que celle de Ttiylor ; ainsi, comme les deux autres équations s’accordent aussi , le résultat doit être nécessairement le même.

En effet, suivant le théorème d’ Euler, en ne considérant que la seule variation v , on a tout de suite l’équation

Ndx — d.(H — fLdx)q — adq =- 0 , a étant une constante arbitraire.

Cette équation est l’intégrale première de celle de Taylor ; car si on la réduit à la forme

N d x — ( hd — f— a — f Ld x ) d q -4— Lq d x — . O , qu’on la différencie après l’avoir divisée par dq , et qu’on fasse ensuite disparaître les dénominateurs, on trouvera l’équation de Taylor.

On pourrait faire des remarques semblables sur les solutions des Bernoulli, et sur celles à' Euler, dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Petersbourg : mais dans l’état actuel de l’analyse, on peut regarder ces discussions comme inutiles , parce quelles regardent des méthodes oubliées, comme ayant fait place à d’autres plus simples et plus générales ; cependant elles peuvent avoir encore quelque intérêt pour ceux qui aiment à suivre pas à pas les progrès de l’analyse, et a voir comment les méthodes simples et générales naissent des questions particuliè*res et des procédés indirects et compliqués.

L’ouvrage d 'Euler, que nous avons cité, n’aurait rien laissé à desirer sur les problèmes relatifs aux courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou de minimum , s’il avait pour base une analyse plus oonlorme

à l’esprit du calcul différentiel : mais la décomposition que l’auteur y fait des différentielles et des intégrales dans leurs élémens priroitils , détruit le mécanisme de ce calcul, et lui fait perdre ses principaux avantages, la simplicité et la généralité de son algorithme.

Il restait donc à trouver la manière de plier le calcul différentiel à ce genre de problèmes qui sont essentiellement de son ressort , et de les résoudre sans s’écarter de la marche simple et uniforme de ce calcul. Cet objet a été rempli par la Méthode des variations, publiée dans le second tome des Mémoires de l'Académie de Turin. Comme cette méthode est exposée dans la plupart des Traités de calcul différentiel qui ont paru depuis, nous nous contenterons d’en donner ici les principes.

Elle consiste à faire varier-Ies/ dans la formule intégrale en ,v et y, qui doit être un maximum ou un minimum , par des différenciations ordinaires, mais relatives à une autre caractéristique S' différente de la caractéristique ordinaire d , et à déterminer la valeur différentielle de la formule par rapport à cette nouvelle caractéristique , en transposant le signe après les signes d et f lorsqu’il se trouve placé avant, et en faisant ensuite disparaître par des intégrations par parties les différentielles de sous les signes f. -

Soit la formule fZ qui doive être un maximum ou un minimum entre des limites données, la quantité Z étant une fonction donnée de x, y, dx, dy, d l y , &c. , en supposant dx constant. On aura S'.fZ pour la valeur différentielle qui doit être nulle dans le maximum ou le minimum; donc

JV/Z = o,

équation qui se transforme tout de suite en

Supposons qu'en différenciant à la manière ordinaire, mais suivant la caractéristique f', et ne faisant varier que les^y, dy, &c. , on ait é'Z = Né'y -t- Pé'dy -+- QS^d'y -f- &c. ; on aura l’équation '

fNS'y ~ 4 - fPS^dy - 4 - fQ£d l y -h Sic. = o:

o r, fPSJy se transforme d’abord en fPJSy, et ensuite en intégrant par parties, en P Sy — f JP S'y.

De même fQSJ l y se transforme d’abord en fQJ'Sy, ensuite en QJSy — JQSy fJ'QSy, et ainsi des autres.

Donc, en ajoutant une constante quelconque K à ces intégrations, l’équation deviendra

P S'y -+- QJSy — JQSy -+- &c. -h- K H- f ( N — JP -J- J x Q — 8ic.y Sy = o.

Comme toutes les différentielles de Sy ont disparu de dessous le signe f, cette partie n’est plus susceptible d’aucune réduction : ainsi, pour vérifier l’équation indépendamment des variations Sy , il faudra d'abord égaler à zéro le coèfficient de Sy sous le signe f, ce qui donnera l’équation

N — JP - f- J l Q~— &c. = o,

laquelle devra avoir lieu indéfiniment pour toutes les valeurs de x et y comprises entre les limites données.

Cette équation est en d’autres termes celle qu’ Euler a trouvée le premier pour le maximum ou le minimum de la formule intégrale fZJx.

Euler fait — p , rr q, &c. , et il suppose Z fonction de x, y, p, q, &c. , telle, qu’on ait par la différenciation

JZ = MJx -+- NJy -+- PJp -H- QJq -4- &c.

Il fait ensuite varier l’ordonnée y de la ligne infiniment petite »*; et en regardant la formule fZJx comme faire d’une nouvelle courbe dont Z serait l'ordonnée, il trouve pour la valeur différentielle de cette aire, la formule

/ rq

Sic.) ./»*;,

(JW

dx dx*

d’où

il tire l’équation

dp dx ^ dx‘

qui

coïncide avec la précédente.

Notre méthode donne de plus l’équation déterminée

(P — d Q —J— Sic. J f'y H“ Qdf'y — H &c. — h- À — o,

laquelle doit avoir lieu dans les deux limites entre lesquelles la formule fZ d x doit être un maximum ou un minimum.

Désignons pary„, P ot Q ot &c. les valeurs de y, P, Q, &c. à la première limite où .v est par exemple égale à a, et pary,, P,, Q,, &c. leurs valeurs à l’autre limite où x serait égal à b; on aura ainsi les deux équations

( P 0 — d Q a -4— &c . J <by 0 • — f- QjadS'yo “4- &c. — f- À = o,

(P, — dQ, -f- &lc.) <P% -+- Q.dS'y, -4- &c. -4- K = o :

la première donnera la valeur de la constante K , laquelle étant substituée dans la seconde, donne

(P, — dQ, -4- & c.JS'y, -f- Q,d£y, -4- &c.

— ( P . “ à.Q 0 — &c.;JV. — <2»^/. “ &c. = o,

équation qui restera encore à vérifier pour la solution complète dû problème.

Si les valeurs de y a et y,, ainsi que celles de &c. , sont

censées données, leurs variations seront nulles, et tous les termes de l’équation précédente s’en iront d'eux -mêmes; c’est le cas de l’analyse d 'Euler.

Si toutes ces valeurs, ou seulement quelques-unes, sont indéterminées, ou s’il y a entre elles des relations données par la nature du problème, alors, après avoir effacé les variations qui doivent être nulles, et réduit les autres au plus petit nombre possible, il faudra faire disparaître les variations restantes en égalant leurs coèflîciens à zéro; ce qui donnera autant d’équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l’équation du problème. Voyez là-dessus le second et le quatrième volume des Mémoires de Turin, et les différens ouvrages de Calcul intégral où cette théorie est exposée.