TÔT + — tÿT (t - /y
•+• * (Z — Z *) 7~ÔÜ~ ~ X ‘
Cette expression , en mettant pourjsa valeur zg — zQix V ( i H-/V
et réduisant, devient
oh t est mise pour ■ ^ — h- 2Aq>j, comme on i’a employée ci-dessus;
de sorte qu’en substituant encore à la place de /, sa valeur donnée par la première équation , on aura plus simplement
Cette valeur de Ù devra donc être nulle aux deux limites.
Pour la première limite, nous avons vu ci-dessus que l’on a, en général, Zo = A (x 0 , y Q ) ; donc prenant les variations, on aura
Îp — x a A 1 (*0) -f- ju A' (yj, de sorte que l’équation U Q — o donnera celle-ci :
( y. 'v (a) -+- & (y o) * Kj y 0 =o.
Pour la seconde limite, on aura aussi U, =ro, équation dans laquelle
la variation z, demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en égalant à zéro son coèfficient A; » ai wi an aura la condition A, =o, qui servira à déterminer la constante arbitraire b de la valeur de A
trouvée plus haut. Cette condition donne — — t- b = o , d’où l’on
tire b = - y - -- .
yi *(*)
De sorte que l’expression complète de A sera
d’où Ion aura
valeur qu’il faudra substituer dans l’équation à la première limite.
A l’égard de l’équation de la seconde limite, elle sera simplement, à cause de A, = o ,
— ; h y, — o ; savoir, x, -+- y , * o.
Cette équation est tout-à-fait semblable à celle que nous avons trouvée dans le premier exemple, et d'où nous avons conclu que la ligne la plus courte devait couper à angles droits la ligne qui forme la seconde limite; ainsi la même conclusion doit avoir lieu pour la ligne de la plus vitedescente, quelle que soit la loi de la résistance du milieu.
Revenons à la première limite. En substituant dans l’équation de cette limite pour A 0 , sa valeur, elle devient
Maintenant, si on désigne par (ÿ J la dérivée de l’ordonnée y de la courbe qui forme la première limite, on aura, comme on l’a vu dans
le premier exemple, l'équation y 0 — (y J x 0 = 0 : donc si on substitue
dans l’équation précédente, au lieu de y a , sa valeur (y x Q , la variation
,y„ demeurera arbitraire , et il faudra vérifier l’équation , en égalant à zéro
le coèfficient de x 0f ce qui donnera
équation à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires.
Supposons, ce qui est le cas le plus simple, que la vitesse initiale V Zo soit donnée indépendamment du lieu de départ ; on aura alors la rcr à une constante; donc
A ( x 0 , y a ) = const.
et par conséquent
et l'équation précédente deviendra
-7- -+- (/o) — 9 ; savoir , 1 +/, (y 0 ) — o. y 1
Dans cette équation, (yâ) exprime la tangente de l’angle que fait avec l’axe des x, la tangente à la courbe de la première limite, dans le point où elle est rencontrée par la ligne de la plus vite - descente , et /, exprime la tangente de l’angle que fait avec le même axe, la tangente à cette même ligne au point de la seconde limite; et il suit de cette équation, comme nous l’avons vu dans le premier exemple, que la différence de ces deux angles doit être égale à un angle droit : donc il faudra que la tangente à la courbe de la première limite soit perpendiculaire à la tangente à la ligne de la plus vite-descente au point de la seconde limite ; et comme nous avons déjà vu que cette tangente doit être perpendiculaire à celle de la courbe de là seconde-limite , on en conclura que, dans le cas dont il s’agit, la courbe de la plus vite-descente devra rencontrer les deux courbes des limites dans des points où les tangentes soient parallèles entre elles.
Mais, si on veut que la vitesse initiale soit toujours celle que le corps acquerrait en tombant d’un même point donné, nommant h la hauteur de ce point au-dessus de l’axe horizontal des ordonnées y , on aura h -+- x Q pour la hauteur due à la vitesse hritiak dont est le carré, et les principes de la mécanique donneront
Zo = *g (h ■+■ x 0 J :
donc A (xo.yj = ig(h~+~ xJ ; et de là A' (xJ = 2 g, A'^zro, ce qui réduira l’équation de la première limite à celle-ci :
-+- (y'o) — o; savoir, 1 -+- y„ (y J = o,
laquelle montre, comme on l’a vu dans le premier exemple, que la ligne de la plus vite - descente doit couper aussi à angles droits la ligne qui forme la première limite.
On avait trouvé ces mêmes résultats pour la ligne de la plus vite-
descente dans le vide ( Voyez le quatrième volume des Mémoires Je Turin, et les Mémoires de l'Académie des Sciences pour les années 1767 et 1786). L'analyse précédente fait voir que les conditions relatives aux limites sont indépendantes de la résistance.
Si , au lieu de la courbe de la plus vite-descente , on demandait celle où la vitesse acquise serait un maximum, il faudrait rendre la quantité z un maximum, et l’on aurait le cas où nous avons vu que les équations générales se réduisent simplement à (Y) — o et (Z) ==: o ; savoir,
0*<Pî « 1 =
et
2A<p'jx \/ (1 H- y 1 ) — A' = o , équations qu’il faut combiner avec l’équation en
z — zg-t-*<Pz*'Z( l -+- y 1 ) = o.
La première a pour primitive
et si on opère sur ces trois équations comme on l’a fait dans le cas précédent, on parviendra de la même manière à l’équation
qui donne la valeur de A; ensuite les* deux dernières équations ci-dessus donneront la vitesse ]/ Z > et la fonction y en x , d'où dépend la courbe cherchée.
A l’égard des limites, on aura, dans le cas dont il s’agit, en faisant varier à-la-fois x, y, j,
formule qui, en substituant les valeurs de (Y), (Z) et de z> et réduisant, devient
igAjx-hzAQz * 77 T~ÿ 7 J-yA-(^A-i)i:
et
et si on substitue encore dans celle-ci les valeurs de et de tirdc» Je» don* (Wnirrps équations primitives, on aura enfin
Ù — — b x -7 — > -+- (* ■+■ 1 )ïo\
de sorte que les deux équations aux limites L/ O =o et Ü, — o , deviendront
— bx o h — Tjjy 'y » ■+■ ( *° l ). Z° — 0 • .
— bx, - 4 - ■ ÿ ( ~ j y, -+- (*■, H- ') Z< — 0 •
La vitesse initiale, dont jo est le carré, doit être donnée; si on la suppose indépendante du lieu du départ, sera une quantité constante
dont la variation sera par conséquent nulle ; donc = o : alors la première équatieiv te réduira à
• Pour la seconde , comme rien ne détermine la valeur de , il faudra que son coèflïcient soit nul , et qu’il donne A, -M=o et A, = — 1 , condition par laquelle on déterminera la valeur de la constante arbitraire b.
Cette équation deviendra ainsi
— b *• •+■ -tôt x ï< = °-
Si les deux points extrêmes de la courbe étaient donnés, les variations 3 e x ot y ot x,, y, seraient nuiles, et les deux équations seraient satisfaites d’elles -mêmes.
Mais, si la question est de trouver la ligne par laquelle le corps partant d'une courbe donnée, et arrivant à une autre courbe donnée, acquiert la plus grande vitesse; nommant, comme plus haut, (yô) et (y,) les tangentes des angles que les tangentes à ces courbes font avec l’axe aux deux extrémités de la ligne cherchée, oit aura, ainsi qu’on l’a vu dans Supplément. M
le premier exemple,
/o ■ ’ (y oj a o — ^ i ^t y i ““ (y i ) — o ,
et ces équations étant combinées avec les deux précédentes, donneront
(/a) = b V (a), et (y,) = b ■/ (a)
d’où l’on peut conclure que les tangentes aux deux courbes des limites, cfcivent être parallèles entre elles, comme dans la courbe de la plus vitedescente.
Ces exemples peuvent suffire pour montrer l’usage de nos formules générales, et sur-tout des équations aux limites qui n’étaient pas connues avant le calcul des variations, et sans lesquelles on n’aurait que des solutions incomplètes.
