Y o (y) o H- Zo ( l)o = o
à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires c, d, l’autre devant être déterminée par l’équation de condition de la seconde limite, laquelle sera de même
Mais
Mais si on veut savoir ce que ces équations représentent, il n’y a qu'à se rappeler que, dans la théorie du contact des courbes, on démontre qu’en regardant les dérivées y 0 et j' 0 comme constantes, les deux équations
y = /» * -h p-, Z = Zo * -+- *,
où p, et v sont aussi des constantes par rapport à x et y , représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite ; et que de la même manière les deux équations
y — (/)o x -+- vr , Z = (l)ox -h f, représentent la ligne droite qui touche au même point la ligne la plus courte , vr et f étant aussi des constantes par rapport à x et y.
Or, dans l’application de l’analyse à la géométrie, on démontre que les deux droites représentées par ces équations, si elles se coupent, font entre elles un angle dont le cosinus est
1 •+• / o (y) « z'c (z'Jo
v ( i -(-/*„ » ✓ [ i -h (ÿ)\ -+- éîV'o]
( Voyez les feuilles à! Analyse de Monge). Donc, puisque dans le cas présent, le numérateur de cette expression devient nul, il s’ensuit que 1 angle des deux droites sera droit ; par conséquent il faudra que la ligne la plus courte coupe à angles droits la courbe qui forme la première limite.
On parviendra de la même manière à une conclusion semblable pour l’autre limite : d’où il résulte que la ligne la plus courte qu’on puisse mener entre deux courbes quelconques est toujours la droite qui coupera ces courbes à angle droit. Ce théorème est connu depuis long-temps, et se démontre de différentes manières ; mais aucune n’est aussi directe que celle que fournit l’analyse précédente.
Mais si, au lieu d’une simple ligne, il y avait une surface pour servir de limite à la ligne la plus courte, désignant par $ (x , y , z) = ° la surface de la première limite, elle donnerait cette équation variée
*oV (x) H- y a (y) -4- Zo ( z) — °»
Supplément. K
qu’il faudrait combiner avec l’équation de la première limite trouvée ci-dessus
, *0 -+- y o y o h - z'o io — °-
Substituant dans l’équation précédente la valeur de x 0 tirée de celle-ci, on aura
[*' (y) —y o 4-' (*)]7o — ù m Zo = o,
d’où, à cause que les variations y ot j, doivent demeurer indéterminées, on tire ces deux-ci :
auxquelles il faudra satisfaire par deux des constantes arbitraires de la ligne la plus courte.
On trouvera deux équations semblables pour la seconde limite, si elle est aussi formée par une surface donnée.
Pour voir maintenant ce que signifient ces équations, on remarquera que l’équation de la surface $ (x, y, z) =z o donne la dérivée
dont la primitive , en regardant les coèfficiens de x', y', % comme constans, savoir,
x 4>' (x) -f- yV (y) -+■ 1 $' (z) = °’>
représente le plah tangent à cette surface, comme on le sait, par la théorie des courbes ; «, étant une constante arbitraire par rapport à x > y • Z-
Substituons dans cette équation les valeurs de $ (y) et (z) tirées des deux équations trouvées ci-dessus, elle deviendra, en la divisant par 4’’ (x) qui est regardée comme constante,
* -+- /oy ■+■ Zo z - 77 jj- —
D’un autre côté, on sait que cette équation représente aussi un plan
perpendiculaire à la droite, dont les équations seraient
f rqyrj /« feuilles citées) les quantités y 0 et étant regardées ici comme constantes, ainsi que /j. et y : donc, puisque ces équations sont celles de la tangente à l’extrémité de la ligne la plus courte, que nous regardons en général comme une courbe quelconque , il s’ensuit que les deux équations données plus haut expriment que la ligne la plus courte doit rencontrer la surface donnée à angles droits.
Et comme la même conclusion aurait lieu aussi pour l’autre limite, si elle était formée par une surface ; il en résulte que la ligne la plus courte entre deux surfaces données , sera encore la droite qui rencontre ces surfaces à angles droits.
Jusqu’ici nous n’avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu’on peut mener entre des points, ou des lignes, ou des surfaces données; problème que la simple géométrie peut résoudre, parce qu’on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite : mais si on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée, le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations , et les formules trouvées ci - dessus s’y appliquent avec la même facilité.
Soit F (x, y, %) z=. o l’équation de la surface donnée, elle donnera l’équation variée
y f' (y) H iFfr) = o,
laquelle étant combinée avec l’équation générale du maximum ou minimum trouvée plus haut
produit celle-ci
pour l’équation de la ligne la plus courte sur la surface donnée ; ensuite
on aura l'équation aux limites Ù, — Ü 0 z=z o , dans laquelle on a en général
et si l’on veut avoir égard aussi à la variation de x , on aura j', * -*- y y i i
comme on l’a trouvé plus haut.
Il faudrait ici substituer pour z sa valeur tirée de l’équation variée,
x F' (x) - 4 - y F’ (y) -4- z F 1 (z) — o ; mais en faisant abstraction de la
surface, l’expression précédente de U conduit directement aux mêmes conclusions qu’on a trouvées plus haut relativement aux limites, c’està-dire, que la ligne la plus courte tracée sur la surface donnée, devra aussi couper à angles droits les courbes qui lui serviront de limites.
A l’égard de la nature de la ligne la plus courte sur une surface, elle jouit d’une propriété particulière et caractéristique, par laquelle on peut la déterminer indépendamment de la considération du minimum ; c’est que ses rayons osculateurs sont tous perpendiculaires à la surface. En effet, il est clair que cette ligne doit être celle suivant laquelle se dirigera un fil tendu sur la surface donnée, et il est facile de concevoir en même temps, que le fil tendu ne peut être en équilibre qu’autant que la pression résultante de la tension , et dont la direction est suivant le rayon osculateur, sera perpendiculaire à la surface. Pour voir comment la propriété dont il s’agit résulte de l’équation trouvée pour la ligne la plus courte, nous remarquerons d’abord que l’équation du plan tangent à la surface représentée par l’équation F (x , y , zj = o , est, comme on l’a vu plus haut,
les fonctions F (x) , F (y), F (i) étant regardées comme constantes, ainsi que la quantité &.
Nous remarquerons ensuite que si on représente par x H - A y B i C ■=. o ,
l’équation du plan du cercle osculateur d’une ligne à double courbure , il faut que cette équation et ses deux dérivées, prime et seconde, aient lieu en prenant les coordonnées x, y, i du plan pour celles de la courbe donnée, et en regardant dans la formation des dérivées, les coèfficiens A, B, C comme constans; c’est ce qui résulte de la théorie du contact des courbes exposées dans la Théorie des Fonctions.
On aura donc ainsi les deux équations dérivées dans lesquelles x' — i,
La dernière donne B — , et cette valeur étant substituée dans
la précédente, on aura
zy —y z z y — y z
Nous remarquerons de plus qu’il suffit que le plan du cercle osculateur soit perpendiculaire au plan tangent à la surface, pour que le rayon osculateur soit perpendiculaire à la surface , parce que ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la surface.
Or, on démontre encore dans l’application de l’analyse à la géométrie (voyei les feuilles déjà citées ), que la condition pour que deux plans représentés par les équations
x F (x) H- y F (y) -f- zF (i) -4- ce = o , x-hAy-t-Bz~t-C=o,
se coupent à angles droits , est renfermée simplement dans l’équation F (x) H- AF' (y) -4- B F (z) — o.
L’équation de la surface F (x, y, %) ~ o donne aussi l’équation dérivée
F (x) - 4 - y' F (y) -+- z F (z)—o, d’où l’on tire F(x)—-~ y'F(y) — z'F (z). Cette valeur substituée dans l'équation précédente , donnera celle-ci :
laquelle, en substituant les valeurs de A et B trouvées ci-dessus, devient
!z-//z/-/z)] F(y)-[/+z "(ii-yï)) F'(ti = o.
Or, si on divise le coefficient de F (y) dans celte équation, par '
V~ , V étant -\/ (\ -t- y' H- Z l ) , on a la dérivée de G, et de même le
coefficient de F (i ) , divisé par V~ , devient la dérivée de , comme il est facile de s’en assurer par le calcul : donc, en divisant toute l’équation par V~, elle pourra se mettre sous la forme F (y) — ^ -ÿ J'F(zJ~o ,
qui est la même que celle de l’équation que nous avons trouvée pour la ligne la plus courte.
Clairaut a remarqué le premier, dans les Mémoires de ï Académie des Sciences de 1733, que, quelle que soit la figure de la terre, la ligne qu’on y tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l’horizon , de manière qu'ils soient effacés les uns par les autres, comme on l’a pratiqué dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la propriété d’être la ligne la plus courte entre tous ses points : ainsi la détermination de cette ligne dépend de l’équation générale qu'on vient de trouver.
En supposant que la terre soit un sphéroïde de révolution , si on prend l’axe des * pour l’axe de la terre, dont le centre soit l’origine des coordonnées , et qu’on nomme r l’ordonnée de la courbe des méridiens , on aura r zzz 3/ ( y * -4- Z l ) : donc si F (x, r) =: o est l’équation de cette courbe, elle deviendra celle de la surface du sphéroïde, en y substituant
■yé (y 1 -4- 2*7 pour r; et à cause de r = ' * ~*~ T ^ ~ » on aura
F()) = LF(r). F(l) = X-F(,)!
de sorte que l'équation de la ligue la plus courte sur le sphéroïde, deviendra
laquelle est du second ordre, mais dont la primitive du premier ordre
zy — >z — „
a étant une constante quelconque. Cette équation combinée avec l’équation F (x, r) = o, suffira pour construire la courbe.
Ce problème est traité avec beaucoup de détails dans le quatrième volume des oeuvres de Jean Bernoulli.
Le problème de la ligne la plus courte conduit naturellement à celui de la surface de la moindre étendue. Nous avons déjà vu plus haut que l’on a alors
d’où l’on tire la variation
laquelle étant comparée à la formulé’
donne
L = o, 7Va=-ÿ;
et de là résulte l’équation générale
Cette équation, en effectuant les dérivations indiquées, se réduit à
or, en prenant successivement les dérivées par rapport à x et à y, on
trouve
VV> — t‘ z u ‘ - 4 - ff {■' , VV>'= z- {' -+- Z‘‘ z’“ ;
de sorte qu’en multipliant l’équation précédente par V, et substituant les valeurs de V 1 , W’, VV’’ , on aura après les réductions,
[i-+-frW
et si on aime mieux employer la notation proposée dans la leçon XX. e , on aura pour l’équation de la moindre surface,
Monge et Legendre ont trouvé , par des méthodes ingénieuses , l’équation primitive de cette équation du second ordre ; mais la forme sous laquelle elle se présente, la rend peu susceptible d’applications utiles. Voyez les Mémoires de F Académie des Sciences de 1787.
Pour donner encore un autre exemple, nous reprendrons le problème si connu de la brachystochrone, ou ligne de la plus vite -descente; mais nous la considérerons dans un milieu résistant comme une fonction quelconque de la vitesse.
Soient les abscisses x dirigées verticalement de haut en bas, et par conséquent les ordonnées y horizontales. Si on nomme g la force constante de la gravité, z I e carré de la vitesse, et la fonction de la vitesse qui est proportionnelle à la résistanoe, les principes de la mécanique donnent l’équation
pour la détermination de et le temps qui doit être un maximum ou un minimum, est exprimé par la fonction primitive de l’expression V(\ y”)
En comparant ces formules aux formules générales, on aura
et
et fa fonction F (x, y, y , j .....) qui, étant égalée à zéro, donne l’équation de condition , sera
On aura donc
et de là
ensuite on aura l’équation variée
è'-h2é<p'z x yVi +yv+^ J x 7 ^ = 0l
et par conséquent
= *?'«* /fi -4-/V' F(z')=x.
De là, on aura
W = -[. r r; = 1Alfîx __^,
^z;= zAcf'j x /fl -+-/»} A', (Z) — X;
D apres ces valeurs, on aura les équations générales Y -y (Y) — o, Z -+- (Z) = o, et l’équation aux limites
en faisant
Supplément. ^
et si on veut tenir compte de ia variation de x, on aura
■+ Tâ) *•
Les deux équations générales se réduisent à celles-ci :
dont la première a pour primitive
V ( i -t-/V * (O 2 Z * /fi y»; /fof ’ a étant une constante arbitraire.
Il faudra substituer dans celle-ci la valeur de A tirée de la seconde ; ensuite il faudra éliminer i par le moyen de l’équation de condition
{ — 2 g -4- iQz* \/ (i -f- y 1 ) = o, et l’équation résultante en y et x sera celle de la courbe cherchée.
Comme j représente le carré de la vitesse, et que l’équation en z est du premier ordre, la valeur de j, tirée de l’équation primitive de celle-ci , contiendra une constante arbitraire qui dépendra de la vitesse initiale imprimée au mobile.
On peut donc regarder la valeur de j, à la première limite , comme une fonction donnée des coordonnées initiales x et y t ainsi dénotant cette fonction par la caractéristique A , on aura la condition
Zo = A (*o» yo)-
Le cas du vide n’a aucune difficulté; car en faisant <$Z—— °» on aura l’équation
y r» +!'■/« ycv = const ‘ ~ vsr ’
où A n’entre pas.
Ensuite on a j — 2 g = o , d’où l’on tire % m igx H- b. En rapportant cette équation à ia première limite, on a igx 9 -+- b, d'où
b = Zo — i gx a \ ainsi la valeur complète de j sera
or, l’équation en y donne
équation qui , par la substitution de la valeur de j, devient celle de la cycloïde ordinaire.
Soit, pour abréger,
le problème général dépendra de ces trois équations du premier ordre,
A' — £ lAcp'j ^~V) ^ y ^ :=
{ — 2 g z<pz * \/(i -4- y 1 ) — o.
Si on prend 1a dérivée de t, on a
d’où l’on tire
2*’ fz — t'
2A<pz =
cette valeur étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, on aura V »= - - £ /(-, 4-/V = o; •
mais la troisième donne
Z =ig — x \/ (i -+■ y V;
substituant cette valeur dans la dernière équation après l’avoir multipliée
par z , elle se réduira à
Zg\' — t' \/(l -+- y 1 ) = 0 .
Or, on a
/ Y(, - 4 - v'V = [t/fl -4- x'Vj- -TT^W •
et la première équation donne ^ ^ ! donc l’équation
qu’on vient de trouver, deviendra.
dont ia primitive est
2 £a — tV (i -t- /V vj^y — b;
et si on substitue encore ici pour t sa valeur " r /v ^— tirée de ia première équation, on aura
ie A r= —r — h
Ainsi , on a la valeur de A qu’on substituera dans l’expression de t de la première équation ; et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec la troisième pour en éliminer Z-
Considérons maintenant l’équation aux limites U, — U a — o ; supposons, ce qui est le cas le plus ordinaire, que les deux limites soient
indépendantes l’une de l’autre, on aura séparément £/ 0 r=o, U, = o.
Or, en faisant dans l’expression de U , donnée plus haut, les substitutions nécessaires, on a
