LEÇON CINQUIÈME

Fonctions dérivées des sinus et cosinus d’angles, et des angles exprimés par les sinus et cosinus. Développement de ces quantités en séries.

Les angles n’entrent dans l’analyse que par le moyen de leurs sinus et cosinus, qu’on dénote par les mots sin. et cos. placés comme caractéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires sin. .v et cos. x

dont la propriété générale tirée de la nature du cercle est qu'en prenant deux angles quelconques x et y, ou a

sin. ( x -\-y ) = sin. x cos. y -f- cos. x sin./, ços. ( x ~\~y ) = cos. x cos .y — sin. x sin./.

Cela posé, pour avoir les fonctions dérivées de sin. x et cos. x, il n’y aura qu’à mettre x -J-; à la place de x,et développer ensuite les fonctions

sin. ( x ; ) et cos. ( x'«-t- i),

suivant les puissances de i; les coefficient de; dans ces développemens , seront les dérivées cherchées. Or, par les formules précédentes, on a

sin. ( x -i- ;' ) — sin. x cos. i -+- cos. x sin. r, cos. ( x -+- i )z=i cos. x cos. ; — sin. x sin. /.

Ainsi tout se réduit à développer en série les quantités sin. ; et cos. ;'. J’observe d’abord que quelle que puisse être la série du développement desin.;, elle ne saurait être que de la forme.

m, n, &c. étant des nombres positifs et qui vont en augmentant; car le sinus devant être nul lorsque l’angle est nul , il est évident que son expression en série par les puissances de l’angle, ne peut contenir aucune puissance négative.

J’observe ensuite que par les formules générales, en faisant x et y égaux à ; , on a , sin. 2 i = 2 sin. ; cos. ; 2 sin. ; y ( 1 — si n.i'J;.

donc sin. ;' étant =Ai m H- Bi" -H &c. , on aura

sin. 2 ; = i" Ai” -+-2* Bi* -t- &c.;

D’un autre côté, on a , sin. i 1 = A 1 i xm -4- 2 A B i m '*'* -f- &c. , et V (1 — sin. 1 ) = 1 — ÿ sin. &c. = 1 —.jA*i xm — ABi"

donc on aura

2sin.;>/ ( 1 — sin. i 1 ) r= 2 Ai m -+-i B i" -4- &c. — A 5 i 3 ” — Sic. cette série devant être identique avec la série

2 m A i m — | — 2 n Bi » &c.

cjui exprjme la valeur de sin. a i, la comparaison des premiers termes qui renferment la même puissance i m , donnera z A = z m A; donc m = I.

Ainsi on est assuré que le premier terme de la série de sin. i est A i; par

conséquent les deux premiers termes de la série de cos. i, seront i A ,

faisant ces substitutions dans les expressions ci-dessus de sin. ( x -f- i J et cos. (x / J et n’ayant égard qu’à la première puissance de / , on aura

sin. ( x -f- i) sin. .v -4 -i A cos. .v -4- &c. cos. ( x -f- i) = cos. x -f- i A sin. x -t- &c. ;

donc la fonction dérivée de sin. .v, sera A cos. x, et la fonction dérivée de cos. x, sera — A sin. x.

Le coefficient A est une constante encore inconnue, mais que nous déterminerons ci-après par la nature du cercle.

Connaissant ces premières fonctions dérivées, on pourra, de la même manière, trouver foutes les suivantes. Ainsi, la première dérivée de sin. .v, étant A cos. x , la dérivée de celle-ci sera — A 1 sin. x . et la troisième dérivée sera — A' cos. x, et ainsi de suite.

Donc, en général, si/* = sin. x, on aura

f x = A cos .v, /".v = — A 1 sin. *,/'"* = — A ’ cos. * , &c.

Kt faisant ces substitutions dans la série du développement d ef ( x-t-i ), on aura

sin. (x-A-i) = sin. x -b- Ai cos.*- sin. * co*.x -t sur. *

On aura de même, lorsque/* — cos. x,

f x =3 — A sin. * ,/"*• = — A' cos. *, f"x z=z A ' sin. x, f"“ x — A + cos.* &c.

Et ces substitutions donneront

cos.(x-hi) = cos. * — A; sin. x cos. x -\ — — sm. *-l -cos. *

Faisons

Faisons pour abroger

on aura

VM

«fa-

Sic.

sin. ( x -f- i ) — Q sin. x P cos. ,v cos. ( x i ) •=. Q cos. x — P sin. x, d'on l’on tire par les théorèmes connus,

sin. i P et cos. i Q.

Ainsi , on aura , quel que soit l’angle i, les séries

sin. i — i A

cos. / = i

- 4 - Sic.

Il semble qu’on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu’on a trouvées ci-dessus pour sin. (x -A- i) et cos. (x H— i), en y faisant x = 0 ; mais nous avons voulu éviter ici , comme nous l’avons déjà fait plus haut , les difficultés qui pourraient naître de ce que le développement de f (x -f- / ) n’est généralement vrai que tant qu’on ne donne pas à x des valeurs particulières.

Maintenant il est visible que ces séries seront nécessairement convergentes en prenant l’angle i tel que Ai soit égal ou moiVidre que l’unité; et il est visible en même temps qu’on aura alors

sin. i < Ai et > Ai —

car les termes ayant les signes alternatifs et allant en diminuant , les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, &c. seront toutes négatives; et au contraire les sommes du troisième et du quatrième , du cinquième et du sixième , &c. seront toutes positives.

D’un autre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes d’ Archimède , que le sinus est toujours moindre que l’arc , et que la tangente est plus grande que l’arc, du moins dans le premier quart de cercle; . .. ... tin. i

ainsi 011 aura sin. r < t , et > 1,