COI. I
XllS Cahier.
mais
donc
d’où Ton tire
ANALYSE, cos. i = V ( i — sin. i'J ;
y ( t — sin. i')
sin. i 1 > i' (\ — sin. i 1 ) ,
sin. t >
ainsi on aura, par la nature du cercle;
sin. / < > et >
Si donc on prend l’angle i moindre qu’un droit, et assez petit pour que Ai soit moindre que l'unité, on aura nécessairement ,
—y— y, par conséquent
i.° Sin. i < Ai et > Ai >
et A >
Sin. i > Ai yy et < / , par conséquent
< i, et A < i , ou A. < x
Comme ces conditions doivent avoir lieu, quelque petit que soit i, il résulte de la première , que A ne peut pas être moindre que 1 ; car
si A < 1 , on aura — > 1 ; or la condition A > — — donne — <
A y'fl-HiV A
Y ( 1 i x ): donc quelque peu que — surpassât l’unité , il serait toujours possible de prendre i tel que Y ( 1 -H t) fût < — , tandis que cette quantité doit toujours être > -y.
11 résulte ensuite de la seconde condition , que A ne peut pas être plus grand que l’unité ; car quelque peu que A surpassât l’unité , il serait toujours possible de prendre / assez petit pour que l’on eût
1 H — y— < A, tandis qu’on doit toujours avoir
Donc, puisque la valeur de A ne peut être ni moindre ni plus grande que l’unité , il s’ensuit qu’on aura nécessairement A — i .
Donc la fonction dérivée de sin. x , est simplement cos. x , et la fonction dérivée de cos. x , est — sin. x, x désignant un angle quelconque, c’est-à-dire, un arc dans le cercle dont le rayon est l’unité.
Ainsi on aura en général , pour un angle quelconque i.
Sin. / = / Cos. / = i
formules connues, et dont la découverte est due à Newton.
Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en chercher les fonctions dérivées. On désigne communément ces fonctions par les mots ang. sin. ou ang. cos. placés avant le sinus ou cosinus, comme caractéristiques. Soit fx =ang. sin. on aura sin. (fx) = J t ; mettant x-\-i pour x,
et supposant if'x — | — ~f x H— &c. =2 a, on aura sin. (fx -4- u)
— * -4- i : savoir sin. (fx) cos. u -4— cos. (fx) sin. a — x -+- 1. Or, sin. (fx) = x, et cos. (fx) = V ( 1 — sin. ( ’fxf ) = V (1 ' — x') ;
de plus sin. u = u — — — -4- &c., et cos. a = 1 — h &c., par
les formules trouvées plus haut ; donc , faisant ces substitutions et restituant la valeur de w, on aura, en ordonnant les termes par rapport à i, l’équation identique
* -t- i = x i V ( 1 — x *)f x -+■ — (V ( 1 — x % ) fx — x f'x x ) -4- &c.
Laquelle donne , par la comparaison des premiers termes affectés de i, 1 = Y ( 1 — . x l ) fx; d’où l’on tire
La comparaison des autres termes donnera les valeurs de/"x, fx 8 c c. ; mais il est plus simple de les déduire immédiatement de celle d e fx.
• Soit maintenant fx = ang. cos. x, on aura x = cos. (fx); mettant x H— i pour x et fx a pour fx , oli aura x -+- i — cos. (fx -+- a ) = cos. fx cos. U — sin. fx sin. u; or, cos. (fx) — x, et sin. (fx) = Y ( i — cos. (fx) 1 ) = Y ( i — x 1 ) ; faisant ces substitutions , et
mettant pour sin. u et cos. u leurs valeurs en séries u — &c., et
i — h- &c. , on aura , après avoir restitué la valeur de u , et ordonné
les termes suivant les puissances de i, cette équation identique,
x-+-i = x—iV ( i— x‘)f'x-~- Ÿ (Y(i -x 1 )f"x-\-xfx t ) 4-&c.;
e; la comparaison des deux premiers termes affectés de / donnera i = — Y (i — Y) fx, d’où l’on tire fx = ; — ' — — .
Donc,, puisque x étant le sinus d’un angle, Y (i — x 1 ) en est le cosinus, et x étant le cosinus, Y (i — Y) en est le sinus; il résulte de ce que nous venons de trouver, que ta fonction dérivée J un angle exprimé par sou sinus, est égale a ï unité divisée par le cosinus, et que ta fonction dérivée J un angle exprimé par son cosinus , est égale à I unité divisée par le sinus , et prise avec le signe moins.
