Leçons sur le problème de Pfaff

Cet Ouvrage complète ceux que j'ai déjà publiés sur les équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre, mais sa lecture n'exige pas la connaissance des précédents. 11 suffit que le lecteur soit au courant des théorèmes classiques sur les systèmes complètement intégrables d'équations aux différentielles totales, théorèmes qui sont exposés dans tous les Traités d'Analyse.

Les deux premiers Chapitres sont consacrés au problème de Pfaff proprement dit ; j'expose les méthodes fondées sur les propriétés du covariant bilinéaire, considéré d'abord par Frobenius et par G. Darboux.

Dans les trois Chapitres suivants, j'étudie les propriétés des formes symboliques de différentielles (formes extérieures de M. Cartan), et leur application au problème de Pfaff lui-même et à la théorie des invariants intégraux. Les propriétés de ces formes symboliques pourraient être rattachées très aisément au calcul tensoriel, mais il m'a semblé plus naturel de les établir, indépendamment de toute théorie plus générale.

Enfin, dans les trois derniers Chapitres, j'expose quelquesuns des progrès les plus récents acquis à la science, relatifs aux systèmes de Pfaff. Les plus importants de ces progrès sont dus à M. Cartan, dont on trouvera le nom presque à chaque page de ces trois Chapitres. Je souhaite que cet exposé rapide puisse engager les jeunes mathématiciens à étudier plus à fond ces élégantes méthodes, dont l'auteur a déjà fait de si belles applications.

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