FORMES CANONIQUES D'UNE EXPRESSION DE PFAFF

Le problème de l'intéçratioa des équations aux dérivées partielles du premier ordre est un cas particulier d'une question plus g-énérale, le Problème de Pfaff-, que nous allons étudier dans cet ouvrag-e. On v verra que les diverses méthodes d'intéarration des équations aux dérivées partielles sont aussi des cas particuliers de méthodes plus générales permettant de résoudre ce nouveau problème.

1. Énoncé du problème. — Le premier membre d'une équation aux dififérentielles totales complètement intési'rable

(i) (ù=X^dx^^-{- ... +X„dx,^ = o

est identique, à un facteur près qui ne dépend que des variables j?,, à une diflFérentielle exacte, w = 'J-df{^), et l'intés-rale générale est représentée par l'équation

(2) f{Xi,Xt,...,x„) = C.

Soit M„i la multiplicité ponctuelle k n — i dimensions de l'espace à n dimensions (a?^, x^, ..., x^), définie par la relation précédente

(') Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, n" 26. Les renvois fréquents à ce volume seront indiqués par le mot Leçons, suivi du numéro du paragraphe.

G. Prob. 1

2 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.

OÙ la constante C a une valeur déterminée. Pour tout déplacement infiniment petit du point (j3^, a?2, •••, ic,J sur cette multiplicité, les différentielles dx^^, dx^, ..., dx^ vérifient la relation df^=i o, et par suite l'équation (i).

Il est clair que l'on peut se proposer plus g-énéralement de rechercher toutes les multiplicités, à un nombre quelconque de dimensions, de l'espace à n dimensions, qui satisfont à la même condition, quelle que soit l'équation proposée, complètement intég-rable ou non. Soit M^p une multiplicité ponctuelle à n — p dimensions définie par les p équations distinctes

(3) /iK, 5^2, ..., a?J=o, /2 = o, ...,./;, = o;

pour tout déplacement infiniment petit du point (a:^, ..., x^^ sur cette multiplicité, les valeurs correspondantes de dx^^^ ..., dx^ vérifient les p relations linéairement indépendantes

(4) dj\ = o, df^ = 0, . . . , d/p = o.

Si l'équation proposée a) = o est une conséquence des 2p équations (3) et (4), nous dirons que la multiplicité ponctuelle M^p est une multiplicité intégrale^ ou, plus simplement, une intégrale, de l'équation a) = o. La recherche de toutes ces multiplicités constitue l'objet du Problème de Pfaff. Nous appellerons dans la suite forme de Pfaff ou expression de Pfaff toute forme linéaire en dXj^, ..., dx^, dont les coefficients sont des fonctions quelconques de Xj^, x^t • .'î ^n'

Dans le cas d'une équation complètement intégrable, équivalente à l'équation df::= o, on obtient immédiatement toutes les multiplicités intég-rales, si l'on connaît la ïonctionf(x^,X:^...,x^). En efiet, l'équation w ^ o expinme que cette fonction f conserve une valeur constante quand on se déplace sur une intég-rale d'un ordre quelconque. Toute intég-rale d'ordre inférieur an — i est donc située sur une intégrale M^j, et réciproquement. Pour avoir toutes les intégrales M^j,, il suffira d'adjoindre à l'équation y=C, où la constante G a une valeur arbitraire,/? — i équations nouvelles quelconques, formant avec la première un système de p relations distinctes. Pour une équation de Pfaff à coefficients quelconques,