CHAPITRE M. CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF

ISur les systèmes fFéquations aux dérivées partielles dont les caractéristiques dépendent d'un nombre Jini de paramètres ; (Annales de € Ecole Normale Supérieure, t. XIII, Supplément, i8g6)\. Les syslèmes de M. Beudon peuvent être remplacés par des systèmes de Pfaff, admettant des éléments caractéristiques.

5» Soit

une équation aux dérivées partielles du second ordre; pour plus de symétrie, au lieu de supposer l'équation résolue par rapport à l'une des dérivées du second ordre, nous supposerons qu'on a exprimé ces dérivées r, s, t au moyen de jc, y, s, p, q et de deux variables auxiliaires u et r. L'intégration de l'équation (26) revient à la recherche des inté^ales M* du système de Pfaff à sept variables x, y, s, p,q, n,v :

(27) w, z= ds — pdx — qdy =z o,

Mj ^ dp — rdjc — sdy = 0, wj ^ dq — sdx — tdy = 0,

où l'on suppose r, s, t remplacées par leurs expressions au moyen de X, y, z, p, q, u, o. De plus, la multiplicité Mj doit être telle qu'il n'existe aucune relation entre les variables o; et y le long de cette multiplicité. Le système (2j) n'admet pas d'éléments caractéristiques. En effet, supposons, pour simplifier, que r et s soient indépendantes, de façon que l'on puisse prendre r rr a, s = y ; on a alors

w'a = 8rdx — drSx + S sdy — ds3y ;

pour un élément caractéristique, on devrait donc avoir

dx=zo, dy^zo, drz=:o, ds = o, et par suite

de :=dp =z dq = o.

Mais on peut quelquefois remplacer le système de Pfaff (26) par un système de deux équations admettant des éléments caractéristiques. Supposons, en effet, que réquation {26), où l'on regarde x. y. s:,p,q comme des paramètres, etr.s, t comme les coordonnées d'un point de l'espace à trois dimensions, représente une surface réglée dont les génératrices sont parallèles à celles du cône /•/ — s* = o. On peut alors prendre pour r, s, t des expressions de la forme suivante

rz=/i-\- f-o, s =f. + ri-o, t =f3 + ^^v,

fi./i,/^, f. If» étant des fonctions de x, y, s,p, q, a. Les deux dernières équations du système (27) deviennent

ot* = dp — {/, + f^o)dx — {fî + f^o)dy = o, «3 -^dq — {f^ + ■s-^o)dx — (^3 -f- ■l^o)dy = o .

On en déduit immédiatement une combinaison où ne figure plus la variable v,

wj = -^"2 — 'fMs — ^dp — fdç — ifi-^ —fys^)dx — {fih —fy)dj/ =r o,

et l'intégration de l'équation (26) peut aussi être remplacée par l'intégration du système de deux équations, de PfafF à six variables

rJ^^ = O, w^ := O.

Or ce système est de la forme du système (i/j) considéré plus haut, et nous avons observé qu'il peut admettre des éléments caractéristiques (*).

70. Eléments singuliers. — Soit {dx^, dx^, .., dx^ un élément linéaire intégral e^ non caractéristique (pour abrég-er, nous représenterons un élément linéaire intégral par l'une des lettres Si, £),). Les éléments linéaires intégraux sj en involution avec ex sont déterminés par le système des ir équations linéaires en 8x1, 8j72, • • -, ^x ,

(0((8) = 0, . . . , U>riJ>) = O, to'i == o, . . . , (x>'r= o,

qui se réduisent à 2r — q équations linéairement distinctes (y pouvant être nul), si l'élément considéré V'i n'est pas pris d'une façon

(') Il semble paradoxal au premier abord que l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second ordre puisse se ramener à l'intégration d'un système de Pfatf sans éb'ments caractéristiques, et aussi quelquefois à l'intégration d'un autre système de PfafF admettant des éléments caractéristiques. Mais il faut remarcjuer qu'à une intégrale Mj du premier système ne correspond j)as toujours une intégrale M', du second. Par exemple l'intégration de l'équation /•/ - s* — o peut se ramener à l'intégration du système de trois équations de PfafF

(2) ds - pdœ — qdy z:zo, dp^rdœ — .<>rf//rro, rdq — radx — s-dyzizo,

et aussi à l'intégration du système de deux équations

.s (2') dz — pdx — o/rfz/ rz o, dp — adqzizo, où h :zi — — - .

Le système (2) admet l'intégrale M^ représentée par les cinq équations /)=:«, q^^b, z-^.aa; -^ Inj -\- c, i/zzf{.x), r + sf'{.x) :zi o,

où a, b, c sont des constantes arbitraires, /"(a;) une fonction arbitraire, a:; et / les deux variables indépendantes. A cette intégrale Mj correspond une intégrale M', de (2'). 11 est à remarquer que tous les éléments de cette intégrale M, sont des éléments singuliers du système (2') (voir n" 70). Il est évident d'ailleurs qu'à cette intégrale M^ ne correspond pas une intégrale de l'érruation du second ordre rt — s* i^ o, au sens restreint du mot.

CBAPITRE VI. CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF. 2^3

particulière. Les éléments linéaires intégraux en involulion avecCj forment donc en e:énéral, pour un élément de situation générale, une multiplicité à n — ir -\- q dimensions. Mais pour certains élément*: linéaires intégraux, il peut se faire que le nombre des équations (28) linéairement distinctes soit inférieur à 2r — q. sans que les r équations (!>'/ = o soient des conséquences des relations (i),(8)^o. Nous dirons que ces éléments linéaires intégraux sont des éléments singuliers.

Considérons par exemple le système de PfafiF

l b}^ = dz — pdœ — qdi/ = o,

(29) I w j = c//) - fdœ — sdy = o , ( bt^ = dq — sdx — fdy = o,

auquel conduit l'intéerralion de l'équation aux dérivées partielles du second ordre

(30) /• =f{JC, y,s,p,q, s, /)•

On a vu, au numéro précédent, que ce système n'admet pas d'éléments caractéristiques, mais il admet des éléments singuliers. On vérifie immédiatement que la relation

w'i = dpàjc — dx^p -\- dqày — dy^q = o

est vérifiée par deux éléments linéaires intégraux quelconques. On a ensuite

w'j = d/^x — 6/i/x + ds6y — dy^s,

ou, en tenant compte des équations (29) elles-mêmes, qui donnent les expressions de de, dp, dq, <îs, ùp, 6q au moyen de dx et dy, ou de àx et ûy,

tj'î = [(y -{-qZ + Ps + Qf)dy + Sds + Tdt]ox

+ [ds — (Y + çZ + Ps + Qt)clx]iy

— {Sdx + dy)6s — TdxBt ;

on a de même

fj'3 = cfe6a: — dx^s -\- dt^y — dy^t.

Les deux équations (.j'j=o, c.j'3 = o déterminent les éléments

intégraux {^x, 8//, 8s, 8/) qui sont en involution avec l'élément intégral {dx, dy, ds, dt). Si cet élément est quelconque, les deux équations w'g^o, ^'3 = 0 sont distinctes, et l'on peut choisir arbitrairement les rapports de deux des différentielles Sa?, 8//, hs, ht à l'une d'elles. Pour que l'élément {d.x, dy:, ds, dt) soit un élément sing-ulier, il faut et il suffit que les deux équations (ù\z=o, (o'2=:o ne soient pas distinctes, quand on y reg-arde 8a?, 8^, 8s, 8/ comme les inconnues. On doit donc avoir, pour un élément singulier,

( (Y + yZ + Pj; + qt)dy + S,ds + ^dt ds — (Y + yZ + P5 +Q/)rfa; ■ os) ds dt

^ ) Sdx + dj/ Tdœ

\ dx dy '

En ég-alant les deux dex^niers rapports, on obtient une équation du second degré en dx et dy

(82) dy^ -\- Sdxdy — Tdx^ = o,

qui admet en g-énéral deux racines distinctes

dy = niidx, dy = m.'idx.

Si l'on preiid par exemple dy ^^^m^dx, on voit facilement que les équations (3i) se réduisent à deux équations seulement

^ ^ (Idt — m^ds + mi(Y + r/Z + Ps + (}t)dx — o .

En adjoig'nant ces deux relations aux équations (29), on a un système de cinq équations de Pfaff à sept variables x, y y z, p, q, s, t, qui définissent une famille d'éléments sing-uliers du système (29). On obtient une seconde famille d'éléments sing-uliers en remplaçant mi par m^.

Le système de Pfaff formé des cinq équations (29) et (33) admet une infinité d'intég-rales à une dimension, dépendant d'une fonction arbitraire, car on peut prendre pour l'une des variables s ou t une fonction arbitraire de x, et l'on a un système d'équations différentielles ordinaires pour déterminer les cinq autres variables en fonction de x. Ces multiplicités sont les caractéristiques de Monge de l'équation (3o) et du système (29). Les multiplicités