CHAPITRE M. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF

Il eo est évidemment de même de — ^^ , . . -, , et par suite la

J>/>i"3 f^pia

fonction fi est de la forme

fi = Aï/)/» 4- . . . + \npin + B/,

A|, .... A/j. Bi, . . , Br ne dépendant que de Xi, . . ., Xny -\, ■ . -, -r. En achevant les calculs, on vérifie que le système (20) admet des multiplicités caractéristiques à une dimension, mais ce résultat était évident a priori, car le système est alors un système de la forme signalée par Jacobi (Levons, Chap. II, p. 99).

4" Considérons le système des quatre équations simultanées

:>œ^Xi 3j?î- ' ' ?j?j* :sxi- dj?o2

à une seule fonction inconnue s; c, c' , d' . c'" désisfnent des constantes. En prenant comme inconnues auxiliaires

Dr 3r Dr 3*r ?*r

pi = ^— , p-2 = ^ — , />3 =

Dar, ?j?î ^A'3 ^J"!- ^J?,^

l'intégration du système (21) se ramène à la recherche des intégrales M3 du système de PfaÉF

/ rfr =zpidxi -{- ptdxi -[-piidxs, \ dpi = udxi + {v + c)dxi -f (a + o -I- c')dxs, j dpi =z{v + c)dxi 4- vdxi 4- (2w + cf')dxi, \ dpi =i(u -\- v + c'

)dxi + (21' + c")dxi + (« + 3w + c"')dx3.

pour lesquelles il n'e.xiste aucune relation entre a?j, x^, X3. En ég'alant à zéro les covariants bilinéaires, on voit facilement que ce système admet une famille de caractéristiques à une dimension déterminées par les équations (22) elles-mêmes jointes aux relations

(23) du = 0, rfr = o, dxi = dXi ^ — dxs .

La caractéristique issue du point Xi**. Xf,", Xs^, s^, pi'^, p^'^, p^^, «•>, v" de l'espace à neuf dimensions est représentée par les formules

(24) l/'>=V+(^-'*% />2=/>2» + (C-c")/, p,=p.:fi-^{c' + (/' — c"'jt

^ r = ro ^ (/),« + Pi'' -KV + f c - c' - c" -^ ^^/2,

< désig'nant une variable auxiliaire.

L'intéafration est donc ramenée à la recherche des intésfrales à deu.x

dimensions du système (22). Cherchons par exemple les intégrales pour lesquelles œ^ est égale à une constante x^^ . Le système (22) devient

dpi^ — u<^dxi^ + (y« + c)t/.r2<', dp^o = (yo + c)dxi^ + yOrf.a7^o^ dp«o = («0 + y" H- c'jdXi^ + (2^0 + c")dx-^ ;

l'intégration du système formé par les trois premières équations se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes

En prenant pour inconnue auxiliaire la dérivée r , on est conduit à

une équation du premier ordre, et on en tire facilement l'intégrale générale de l'équation {26),

Dr"

/"et » étant des fonctions arbitraires. On a ensuite pi" r=

^ ^ ^ :>XiO '

Il 3^"

Saîâ"

"" = Td^V^ =y"(-3:'i<' + x^') + î'"(-^i'')'

PsO = 2f{x,^ + a;.2«) + *'(a,-iO) + c'^CiO + (.n^^o + C,

C étant une nouvelle constante. En remplaçant r", pi", p^", p-^^ par les expressions précédentes dans les équations (24), les formules qui donnent les valeurs de Xi, Xt, x-^, z, le long d'une caractéristique deviennent

a?, = oî.o + /, X2 = a-â» -\-t, X3 = a-s» + i,

z =r CXi^X2'> +/(^i» + a-â») + 'fiXi^) + [(c— cVl" + (c — C").'B2" — CJ^

Il suffira d'éliminer /, Xj", a'a" pour avoir l'intégrale générale du système (21).

Cet exemple est emprunté à M. Beudon qui a étudié une classe étendue d'équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur à une seule fonction inconnue, auxquelles on peut étendre la méthode de Cauchy