CHAPITRE VI, — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF
dehors ^u plan P) représente un élément intégral qui n'est en involution qu'avec oo* éléments intégraux.
Dans le c is général où les deux directrices de la consrruence ne se coupent pas, chaque point de l'espace à six dimensions est l'orig'ine de oc* éléments singuliers de chaque famille, définis par quatre équations linéaires en dœ^^ . . . , dœ^. Il existe donc une infinité de multiplicités intégrales à une dimension, dépendant d'une fonction arbitraire, dont tous les éléments linéaires sont des éléments sing'uliers ; ce sont les caractéristiques de Mong-e du svstème.
Pour déterminer par le calcul les éléments sinaruliers du svstème ;34), considérons une équation quelconque de ce svstème o = /&j, + !x&j,= o, où A et IL sont des fonctions prises arbitrairement des six variables : on a
a' = (AWj + U.W,)'= A6>\ + aw'j, (mod. fe)j. Wj),
ou, en remplaçant w'^, w'g, par leurs expressions (35),
ii'=2(>-^iAr + iiBik){dxi^Xk — dxkùXi) {i, k= i, 2, 3, 4).
La forme svmbolique ii', que l'on peut encore écrire sous forme abrégée (n" 22)
o'=3 2 O-A/ft + •j-^ik)dxidœk,
est en général de rang quatre, si \ et a sont quelconques Pour qu'elle soit de rang deuœ, il faut et il suffit que le déterminant de PfaflF formé par les coefficients aA/a- + aB/A- soit nul. Or ce déterminant est le carré d'une forme homogène du second degré en A, pt, qui s'annule en général pour deux valeui-s différentes du
rapport-^ . On peut donc, en général, trouver deux formes distinctes Ll^ = \oJ^ 4- ajWj, D., = \oi^ -{- a^Wg telles que les deux formes svmboliques a\, fi'j soient de rang deux, ce qui conduit à des relations de la forme (n" 32)
„» /•^ , ,, \ (mod. w w,),
G. Prob. ^g
290 LEÇONS SUR LE PROBLÈîttE DE PFAFF.
Wg, Wy^, M-, w^j étant de nouvelles formes de PfafF. Tous les éléments linéaires intégraux qui vérifient les quatre relations
0)^ = 0, W2=:0, W,jZ=i:0, W^ = O
sont donc en involutionavec tous les autres éléments linéaires intégraux du système (iM) relativement à l'équation I^m^ -\- 1x^0)2=0 ; ce sont des éléments sing-uliers. La seconde famille d'éléments singuliers est définie de même par le système d'équations (^)
(0^ = 0, oj, ^O, w- = 0, ojj. = 0.
71. Recherche des éléments singuliers. — Les r équa= tions d'un système de Pf'afï S étant supposées résolues par rapport à dx^, dx^, . . ■ , dxr, nous avons
(36) w'/ = V Kuïkidxh^Xk — dx/c^x/i), (mod . w^, w^, . . . , wr)
les coefficients A//;/,- étant des fonctions des n variables Xi. Ordonnons les r équations «';== o par rapport à ^Xri-i, . . . , ^Xn ', le coefficient de Sa;/,,- dans l'équation w'(Z=o est
^ Aihkdx/i, (/= I, 2, ...,/•; k = r + i, ..., n).
Soit s le rang du tableau T, à n — r colonnes et à r lignes formé par ces coefficients, c'est-à-dire l'ordre des déterminants de Tordre le plus élevé de ce tableau, qui ne sont pas tous nuls identiquement, quels que soient dxr^ 1, dxr + 2, •••» dx,i- Ce nombre s est le caractère du système S (^). Les r équations o)\ = o, ..., (jV = o se réduisent à s équations linéairement distinctes pour déterminer 8xr+i, ..., 6x,j lorsque dxr+i, ..., dxn oui des valeurs arbitraires ; il est clair, d'après cela, que ce nombre s est un invariant du système.
Supposons, pour fixer les idées, que les équations (>)\ = o,...,
(') Pour une étude plus coinplèle du système de deux é(iuations à six variables, et les rapports de ce système avec le problème de Bàckland, je renverrai le lecteur à un mémoire récent que j'ai publié dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. X, (igiS), pages i-iog.
(^) E. VON Weber, Zu7' Inuariantentheorie der Système Pfajfscher Gleichungen (Leipz. Berichte, pp. 2oy-22(j, i8q8).
