CHAPITRE VI. — CLASSE d'l'N SYSTÈME DE PFAFF

^5=0 soient linéairement distinctes ; un élément linéaire intégral (5xi ..., ^Xnj en involution avec l'élément (<yxi, ..., dx^Aoïl vérifier les r + .s conditions

Wi(à)= O, . . . , Wr(S) =0, w'j=o, .. . , (li's^O,

et celles-là seulement. Si par exemple on a n^=ir — y, les r équations (u'i = o, ..., w',. = o ne renferment que r — q inconnues SXr^U •"•> ^Xir—qt et elles admettent toujours une solution évidente hxr^\^=^dxr—\^ ..., ^Xir—q^=^dXîr-q\ elles Comprennent donc au plus r — q — i équations linéairement distinctes, quels que soient clxr~i, ■ -, dx^r-q, et par suite s est au plus égal à r — q — I .

Pourqu'un élément {dxr+i, ..., cte„) soit un élément singulier, il faut que les r équations fc)'|3=o se réduisent à moins de s équations distinctes. et par suite que tous les déterminants d'ordre s du tableau précédent soient nuls. On obtient ainsi un certain nombre d'équations algébriques en dxr-\-i, ..-idxn, qui déterminent les éléments singuliers. Il est évident que ces équations forment un système covariant du système S.

Soit il la forme auxiliaire il= a^Wj + ... + Ipf^r, où \, ..., v sont des fonctions arbitraires des variables x,. On a

a' = (aiWi + ... + ')^r(^r)' = '^Wi -!-••-+ 'r^'r (mod. «•>£,..., Wr).

La forme symbolique ^-jw', + , . . -1- V^V où ne figurent que les différentielles dxr~i, ..., dxn, ^Xr+i, ..., Sx^, est de rang 20, lorsque les coefficients a, sont pris arbitrairement (n" 32V Ce nombre pair 20 est, d'après F. Engel. le rang du système S (^) ; il est clair que c'est aussi un invariant du système S. Soit A(>.^,À^, ..., V) le déterminant symétrique gauche attaché à cette forme symbolique f>' ; ce déterminant est de degré n — r par rapport aux a,, et, d'après la définition même du nombre p, il est de rang 20, c'est àdire que les mineurs de l'ordre le plus élevé qui ne sont pas identiquement nuls, quels que soient Ai, ).,, ..., sont d'ordre 20. Supposons en particulier s = r ; nous avons deux cas à distinguer :

(«) F. E.NGKL, Leipzig Berichte. t. XLII fi8go).

i" Supposons n — r = 2p, ce qui exige que n — a* soit pair. Le déterminant A est le carré parfait d'une forme homog-ène de deg"ré p en ).,,• \, ..., >.,.. Supposons que les valeurs non toutes nulles ^'1 = 1^1' •••' >'/•= ;j-r annulent ce déterminant. La forme correspondante

est de rang- 2p — 2r/ = 2çr inférieur à ap, et l'on peut la mettre sous la forme

p-l^'l -f- ... + a,.w',. = C7jT!T2 -f . . . -f 77T2,/1TO2V (mod . Wj, ..., W;.),

cTj, cTo, ..., m.jq étant iq formes de Pfaff distinctes. Tous les éléments linéaires intégraux qui satisfont aux 2Çf relations

(87) TO^ =0, 7^2=0? •••' ra2^=0

sont alors en involution avec tous les autres éléments linéaires intég"raux de S i-elativement à l'équation

u-^to, + ... + p.,.w,.= o.

Les r équations aj'j^=o, ..., wV=o se réduisent donc à s — i équations quand on y remplace dxr+i, ..., dxn par des valeurs vérifiant les 2q relations (37). Par suite, les r -\- zq équations

W^ = O, . .. , '»)/■ = O, CT^ = O, . . . , CTgy = O

définissent une famille d'éléments singuliers. Le nombre total de ces équations est au };lus ég-al h r -\- ap — 2 =11— 2. A chaque système de solutions non toutes nulles de l'équation A(À^, ...,\r)= o correspond ainsi une famille d'éléments inlég-raux sing-uliers du système de Pfaff.

2° Supposons que 9.o<^n — r, ce qui a toujours lieu si n — r est impair. Le déterminant A(Xj, ..., a^) est identiquement nul et la forme ^-jw'j -f- ... + V^V est toujours de rang- inférieur an — r ; quels que soient les coefficients )./, on a

ÀjW'j -f ... + ArwV= TOiTOj -f ... + TJÎjy-imjy, (mod. Wj, ...,6V)

où 2q<^2p<^n — j\ et les n + 2q équations

(Oj = t02=: ... = W,.=: o, T0j = O,. ,,ra2(^ = 0

définissent une famille d'éléments sing-uliers.