CHAPITRE ÏV. —— APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 163 ss

qui admet les trois intégrales !, x, + 2, ts. Si l’on prénd pour varia bles see,

Li L3, T3, Dal + Le — Y%: LTyl3 = 3 on trouve immédiatement pour «w une forme canonique id + © = Lidy, + Lsdys.

Nous allons calculer les formes dérivées de l’ordre le plus élevé pour une forme canonique. Soit une forme canonique de classe paire 2m", les variables indépéndantes étant Ta EST Di PS Pi: Nous avons d’abord

o(2n—1) == Co)” * UE (dp\dxs + ana +... + dprd£m)" m! m ! |

En dp,dæ, dp,dæ: :.. dpdLm3

4 F\in—1 oem?) —= 2-3), — ere. (2) s Le : À: (m—i)! "50

ee

(pad + + PAL n)-

Em i)t

Dans le développement de ce produit symbolique, il ÿ a un seul terme contenant dx, qui est

padæ;dp:dæ, he dp.de.

et les autres termes s’en déduisent par DRÉMUEHONS On a donc w(2m—2) — Pad dpadTs Pl + dpdx:p,dx, e dpudes ses ds

on peut remarquer que w{?7<2 se déduit de 001) en remplaçant successivement dpi par pi, dpà par p,, . +», et faisant la somme des monomes ainsi obtenus.

Une fonction quelconque des 2m vériables ü}, Ph est une inté- | grale de l’équation no — 0, tandis ne le Poe o0M—2)df est égal à

— (e. + Da +. re Fun dp:dL, Pr

ss 7

L’équation symbolique «@#—%df — o est donc équivalente à l'équation linéaire (Cf. n° 9)

à 12 PRE + Pme f —

qui admet les 2m—1 intégrales Lys à 2e Dons F ue cr Calculons encore le produit symbolique ,Cm-3)d fdo, f eto étant déux fonctions ss loates des variables i, pr. On a LEM—3) — Kms __ (dpsdæ: Le Pie |

ou encore

om) — dp,dx, … dpdzs + dp\dæ,dp;dæ; 5. dp.dr, 112 | +. + dpida … TP 4 dT 4

Le ARR RE dpadzs Cie A est évidemment égalà | DÉS D de e. EVANS +) dp,dx,dp.dx .. pa,

et de même pour les autres produits partiels. On a donc

m p} dy D w2n—3)dfde — 2 és ee ns F}ddpade, - : PAT ns

c'est-à-dire (Leçons n° 48).

(7) Pr df. d — (f, e)dp,dx,dp,dx, … dp,dx,.

À Prenons maintenant une forme canonique de classe impaire

26e 2m + 1, que nous écrirons +

G w = d£ — p,dx, — p,de, .…. — p,dr.

On a | — dx,dp: + + dx,dp,

a dp,dzx,dp,dæx, … dp,dx, ‘

on) = 0m) X wo — dzdpidæi … dp,dLn St ZA UE

O7 AE POS ALU SE AIT Ch ETS: LE, TPS ER CURE: FAN EN ILONS OT RUN tu ET ' + dde : HE die x ne Er Ver CAE 3 Sr PL Cr A + & PT PA ci og LE de DA d'or 4° 4 “die pe É à aù 2 Vies d LA n "+ ne (7 41 »

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