Systèmes adjoints à une forme linéaire. — Soit wune

forme linéaire de classe c à n variables x, æ,, ..., æ,(c n).

La forme dérivée w(°—1) n'étant pas nulle, l'équation symbolique

(3) wlc—1)df —= 0 est équivalente à un système complet Y, d'équations linéaires en 2 rer ou , qui est dit adjoint à la forme o. Il est évident que

ce système E, est un covariant de la forme w relativement à tout changement de var iables. En effet, supposons que, par un nouveau choix de variables (y,, ...,y,), w se change en une nouvelle

forme & — B,dy, + ... + B,dy,, et f(x, . .., æ,) en e(ys, .…,y,) ;

le produitsymbolique»(—1)df se change en a(°—1d9 et l'équation (3)

est remplacée par l'équation de même espèce (4) | we tde = 0.

La forme « étant de classe c, on peut choisir les variables Us Ya +. Y, de façon que & ne renferme que les c variables Yi Ye, .., Ye et leurs différentielles. Comme s(—1) est de classe c au plus et n’est pas: nulle, on a forcément, avec ce système de variables,

| m(e—1) - = VUS SA aUc

A étant une fonction de y,, ya, ..., Ye, différente de zéro, et l'équation (4) est équivalente a/gébriquement au système complet

RES GR Pa Dyc+1 DA , dYn 9 qui admet les c intégrales distinctes 9 = y,, :.., ®— ye.

Le système adjoint ?, admet donc c intégrales distinctes qui

sont précisément les variables canoniques, figurant dans la forme réduite de w (n° 6). Si en particulier c —n, une fonction quel-

conque de æ,, .., æ, est une intégrale de ce en

(t) La démonstration donnée par M. Cartan est un peu différente (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, 3° série, t. 16, P. 254-257).

re + ; CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 161

Soit de même w(c—? Ia (c— 2)ième forme dérivée de w. L'équation symbolique

(5) | otc—2)df — 0

est équivalente algébriquement à un nouveau système complet 3, qui est le second système adjoint à la forme ». Il est évident que ce système E, est encore un covariant de w relativement à tout changement de variables. Ce. point admis, prenons le même système de variables que tout à l'heure, de façon que w se change en une forme # où nefigurent que les c variables y,, …, ye et leurs différentielles. La forme dérivée &{°-?) ne POUION ARE elle-même que ces variables, et on aura

mer a, dus Rs dyc + «dy; … dycdy; +... + «dy, ARE

les coefficients «; ne dépendant que de y,,...,yc, et l’un au moins n'étant pas nul. Le produit w(—2)df se change en

we Ade = QUE … dyc + aadyz dycdys +... + acdy1 .… des

Ne eu à

et, pour que ce ae Fe nul, il faut et 1l suffit que

l'on ait

— 0,.., 2 —0, &) dyc+1 dYn a -L+ à USE de Lo Men o dy1 dy dy Ce système qui n’est autre que le système },, écrit avec les nou-

velles variables 7, ..., y, admet évidemment c — 1 intégrales indépendantes Y,, Y2, ..., Ye 1, fonctions de y,, .....y,.

Le second système adjoint X, admet donc c — 1 intégrales distinctes, qui sont cxGbienes des fonctions des c intégrales du premier système E,.

Il est facile FRS la signification de ces intégrales. Soit en effet y, —f, une de ces intégrales. L'équation

oc—?)dy, HO. :

G. Leçons. 11

162 LÉGONS SUR LÉ PROBLÈME DÉ PFAFF.

exprime, comme on l’a déjà remärqué au numéro précédent, que quand on fait y, — GC, dy, —o dans la forme w exprimée aü moyen de rx variables dont fait partie ue la classe est diminuée.de deux unités. Les intégrales du système Y, sont donc identiques aux intégrales premières du système de Pfaff S, (n° 7), et par suite Z, est le système complet associé au système RE intégrable S,. |

Les deux systèmes X; et X, sont les systèmes complets adyoënts à la forme w, qui admettent respectivement c et c — 1 intégrales distinctes. Toute intégrale de Y, appartient à X, et est de rang deux ; toute intégrale de Y,. n’appartenant pas à X,, est de rang un (n° 11). On voit que l’on peut très facilement, au moyen des formes dérivées. SUCCESSIVES, avoir tous les éléments nécessaires pOGE la réduction d’une forme de Pfaff.

EXEMPLE, — Soit

ol = Ladmides + todaid: + dridæ, + xsdé;dx, + xidrsdzs, wo! = ww! = tx;diidxsdt, + totstsdtidrsde, + 2x idtidi:dx; + Lrst;didasdrs + tx, dt1drt;d2es + TADID ATP TNT, + LilatlidtdL:dXs — tt, dXsdt,;dts, — (= xsrsdrideedarsdx, 2 | + Lalidtidr,:dt3d2; — tidtidæ;dx,; das, cl! — Mo "0! : NS

La forme w est done de quatrième classe. Le premier système adjoint », déduit de w'df = o se Se d’une seule équation | of TA af

Dr = = Lil Le = 0 En PT NS tu

qui admet les quatre intégrales distinctes

L’équation w”df — o fournit de même un système complet Z formé de deux équations ,

àf of of.

Er ARE ge—— = O0 Feb uee ou sl ds 2

SPA 0 En Mo do ‘ dx :