DÉSERT

— dpi dTi dpi dTi f—

En prenant le facteur dz dans df ou dans de, on reconnaît de même que la somme des coefficients obtenus est égale à

m m pr Ko df D? | 22 Fi dpi DZ dpi :

= | ii 4%

a On a donc (Leçons n° 49).

dpi

@) uenn4dæ=YiA(%+ me) | A 6

DE el Qu 4 à Pa

2e [of —# ee + pi SE) t dsdpida, … dpudt,

— | f, oldsdp,dx, … dp,dx,.

43. Groupes de fonctions conjuguées. — Les propositions qui font l’objet du paragraphe précédent se généralisent façilement. Soient fi, fe, ..., fa un système de q fonctions distinctes de Lys Los +. L,(q L n). Imaginons que l’on prenne un nouveau système de variables telles que g de ces variables soient les g fonc-

| dis ‘is \Re

E tions fi, 2, ..., fa elles-mêmes, les n—q autres variables 4 Yg+1, --.s Yn pouvant être choisies d’une façon quelconque de

manière à former avec f,, fr, ..., fa un système de 7 variables dis-

tinctes. La en linéaire « se change en une nouvelle forme linéaire

(9) os —Bdf, +. + Brdfg + Byidyqst + ee + np

le AREA étant des fonctions de fi, 2; Jos dati pee Yn. On pourra par exemple prendre pour nouvelles variables, avec f, fa, …, fas n — q des variables æ;, soit %g+4, .,., Æn ; des g relations

Vie AR .+£ de, eue

on tirera dx;,,.…, dx, en fonction de dfs, …. dfgs Aty14s . dns êt en les portant dans w, on aura la nouvelle forme », où il faudra encore remplacer x,, …, æ4 dans les coefficients par leurs expressions au moyen de f,, ..:, fs Æq44» +. Zn. |

Si dans la nouvelle forme son supprime les termes en df,, .…., dfa, et qu'on remplace ensuite dans By 44, -..; Bn les nouvelles variables

Ja. fa par des constantes quelconques @,,...,&g; on obtient une

nouvelle forme

Ar = Bydygu OT ee Brdyn

de classe c —r(r> pis c étant la classe de &. Nous dirons que les

relations

‘ (10) ven en PS df, — 0O, | dfs = 6,772 > dy = (6) abaissent la classe de » de r unités, ou, d’une façon plus abrégée, que les q fonctions f,,f2, ..…, fa forment un groupe de rang r. Le nombre r ne peut évidemment être supérieur à la classe €

‘ de w. Pour que les q fanctions distinctes fi, f», .…, fa forment un groupe de rang r, il faut et il suffit que le produit symbolique

PU oC-ndfdf: .… dfg

soit nul, tandis que les produits symboliques fe dar Où.

t<Te—r, sont différents de géro. | |

La condition est nécessaire. En effet, si l'on a pris un nouveau système de variables f,, ..…., fa, Yq+1, ..., Un, la forme dérivée aC—r) de la forme 5. déduite de « par ce changement de variables, ne doit renfermer aucun terme où ne figure au moins une des

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