CHAPITRE IV; —— APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

différentielles df,,, ..., dfy, puisque cette forme dérivée doit être nulle, quand on suppose df, —0, ..., df; = 0. Réciproquement,

‘si le produit symbolique (11) est nul, la forme #{°-7) est nulle

quand on y supprime tous les termes en df,, .…, df,. Les relations (10) abaissent donc la classe de w d’au moins r unités. Elles ne peuvent l’abaisser de plus de r unités ; en effet, si elles l’abais-

saient davantage, le produit spa ue ler) \dfs ... dfx devrait .

être nul, Il résulte de là que, si un produit symbolique

om df, … dfy

est nul, il en est de même de tous les produit symboliques om+1)df, … dfy, OUTRE ET gs ever

’équation sC-")df —0, où :r © 2, né peut admettre d’autre

intégrale que f— CG, puisqu'on a remarqué plus haut (n° 41) que

les relations f — 0, df — o ne peuvent or la classe de w de plus de deux unités.

Le rang d’un groupe de g fonctions n’est pas forcément égal à la somme des rangs des g fonctions f,, f,, ..., f4 de ce groupe. Par

exemple, les deux fonctions x,, x, sont de rang deux pour la forme w — dx, + x,dx, + x,dr;, et le groupe.(x,, æ,) est lui

même de rang deux. Dans ce cas, le rang du groupe est inférieur à

Ja somme des rangs des deux fonctions qui constituent le groupe.

Il peut aussi être plus grand ; ainsi, pour la même forme,

æ et æ + 2 Fa da de rang un, tandis que le groupe (aa + ° æ)

est de rang ne car si l’on pose mi = 4, ai + . — b, la forme w : | ;

devient

zad Ÿ L, + (b —a)xs À.

Le rang d'un groupe de q fonctions distinctes ne peut être supérieur à 2q. Soient, en effet, », la forme que l’on déduit de w en établissant la relation /, — à, entre les variables, w: la forme que l’on déduit de w;, en établissant une nouvelle relation FE — @, et ainsi de suite ; la dernière forme obtenue «, est identique à x. Dans la suite des formes w,,w,,..., y, la classe ne peut s’abaisser de

re PT, y à urr | 4 3 PA 7 3 Le. LOS se ke 41 LS Y. cts Pa) n ' ; 4 4 4 He: Ve & di ÿe ait SAGE * F 5 F4 A LOT : 4 Le Dei 2