MENÉS AL

Prenons par exemple (1) w = Li(1 — 24? — Lo? )drs + ends + das = 0; la condition (29) est ici 2L1L9L (D? + Lo? + rs H)2810:

Cette équation se décompose en quatre autres et, en traitant séparément chacune d’elies, on AUS trois familles dintéprales singulières à une dimension

(x) Li = 0, T° aise (3) La 0 Di Ci el st = d:

(7) T3 — O0, La, .

a étant une constante. OA et une A un singulière à deux dimensions

Cr La E Li + La= 1;

48. Intégrales appartenant à une multiplicité donnée.— . La détermination des solutions singulières, de même que l’intégration d’un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre (n% 48, 20) conduisent à rechercher les intégrales d’une équation de Pfaff appartenant à une multiplicité donnée, c’est-àdire telles que les coordonnées de tous leurs ‘points vérifient un système donné de Z relations distinctes du premier ordre (30) Jeans Mn es 0 Jrad JR 0.

Aïnsi qu'on l’a déjà indiqué au numéro précédent, ce problème se ramène au problème général. Les équations (30) étant mises sous forme normale, si l’on tire de ces À équations les expressions de À des variables au moyen des n — À autres variables, et qu’on les porte dans — 0, on a une nouvelle équation de Pfaff w, — 0 à n — h variables, On peut déterminer & priori la classe de la nouvelle équation de Pfaff au moyen du lemme suivant.

Soit p le plus petit nombre entier tel que tous les coefficients du produit symbolique wwdf, … dfn soient nuls en tenant compte des relations (30) elles-mêmes. Ce nombre p est égal à la classe de la forme de Pfaff w, déduite de w par la substitution précédente.

(t) CarTAN, loc. cit., p. 282.