CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

Imaginons en effet que l’on prenne un nouveau système de variables (71, ..., ÿn) tel que 1, ..., y soient identiques à as +. fr; on peut toujours faire un changement de variables de cette espèce en considérant un système de valeurs (x,°, .…, æ,°) satisfaisant aux relations (30), et tel que toutes les fonctions Jis -.., fn soient holomorphes dans le voisinage de ce système, sans que tous les jacobiens des À fonctions fi, ..., fn par rapport à À quelconques des variables x; soient nuls pour les valeurs æ; = æ°. Si l’on pose y = f;, …, yr = fn, on peut tirer en effet de ces À équations les expressions de À des variables x; au

moyen de y:, …, yn et des n— h autres variables æ;, et ces expres-

sions seront des fonctions holomorphes dans le voisinage du sys- tème de valeurs correspondantes des nouvelles variables. Toute fonction holomorphe de x, .…, x,, dans le domaine du point (ONE NE M ba) RATE change en une fonction holomorphe des nouvelles variables dans un autre domaine, et la forme w est remplacée par une nouvelle forme £

(31) © —= B,dy, + ... + Badyn + Bayadyrsa +. + Brdyn,

B,, …, He étant des fonctions des nouvelles variables. La forme 1 déduite de par la substitution dont il s’agit est identique à la forme s, |

Do — Bt adyn44 ne EE B°dyn,

déduite de w, en remplaçant y,, ..…., yn, dy, ..., dyr par zéro, avec

le nouveau système de variables. Il est à peu près évident que s',se déduit de #’ par la même substitution. En effet, si dans la forme w'

wo — dB,dy, + ... + dBrdyr + dBr+1dyn+1 + A + dBrdyn

ON UT Ve ue Mél du e—0, AP estelle forme 2Bz+è ) ; > ( sn JT Uhr,

l'indice o indiquant que l’on remplace y,, .…., y par zéro après la différentiation. Mais on a aussi

mes __ 2B0nts 0Yh4i lo. Yh+ÿ

car il revient évidemment au même de remplacer y,, … ,yn par zéro avant ou après la différentiation. La forme obtenue est donc identique à la forme dérivée de Bo

)B° SR AU h+jdy hr.

Les formes dérivées suecessives de + se déduisant de = et de &! par des multiplications symboliques, il est clair que la forme ww) se déduira de &) en remplaçant dans celle-ci les variables y,, .…., yn et leurs différentielles par zéro, quel que soit p.

D'autre part, le produitw()df,.…. dfise transforme en ody,..… dy par le changement de variables effectué plus haut. Il est clair que si l’on remplace y,, .…, yx par zéro dans tous les coefficients de ce

produit symbolique, il se réduira, en tenant compte des pou

partiels nuls, à o, dy, ... dyn.

Ce produit est donc nul si pest égal ou supérieur à la classe de 5, et dans ce cas seulement, ce qui démontre le lemme énoncé. Remarquons que l’abaissement de la classe quand on passe “de x à w, peut être supérieur à 2h (Cf. n° 48). Si par exemple on fait x, — o dans la forme LE; la classe s’abaisse de c unités, si cette forme est de classe c.

Nous pouvons dire encore, en nous reportant aux résultats du n° 46 que si m est le plus petit nombre entier tel que 5®")df, … df} ail tous ces coefficients nuls en tenant compte des relations (30) elles-mêmes, l'équation w — 0 est remplacée par une équation de Ffaff de classe 2m — 1 quand on y fait la SUOS EU précédente.

Pour ramener à une te canonique cette nouvelle équation, qui s'écrit 5, — 0 avec les variables y»14, . ., y», on a rechercher

une intégrale particulière de m systèmes complets successifs. En

se reportant aux résultats précédents (n° 46), on peut écrire ces systèmes complets avant tout changement de variables. En effet, on voit aisément, en reprenant le raisonnement de tout à l'heure, que si tous les coefficients du produit symbolique

on) f... dfrdfn+4 ce. dfh