FORMES CANONIQUES D'UNE EXPRESSION DE PFAFF

Le problème de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre est un cas particulier d’une question plus générale, le Problème de Pfaff, que nous allons étudier dans cet ouvrage. On y verra que les diverses méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles sont aussi des cas particuliers de méthodes plus générales permettant de résoudre ce nouveau problème. | |

4. Énoncé du problème.— Le premier membre d’une équation aux différentielles totales complètement intégrable

ÉNET = X,d2, +... +X dt, —=0

est identique, à un facteur près qui ne dépend que des variables x;, à une différentielle exacte, w — y.d/f (*), et l'intégrale générale est représentée par l’équation | ;

(2) Fi tn..,&,) = CG

Soit M,, la multiplicité ponctuelle à n— 1 dimensions de l’espace à n dimensions (x,, æ,, .…, æ,), définie par la relation précédente

(1} Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, n° 26. Les renvois fréquents à ce volume seront indiqués par le mot Leçons, suivi du numéro du paragraphe.

G. Prob. é it |

où la constante C a une valeur déterminée. Pour tout déplacement infiniment petit du point (x,, x, …, æ,) sur cette multiplicité, les

différentielles dx,, dx,, ..…., dx, vérifient la relation d fe 0 tôt

par suite l'équation (1).

Il est clair que l’on peut se proposer plus généralement de

rechercher toutes les multiplicités, à un nombre quelconque de

dimensions, de l’espace à n dimensions, qui satisfont à la même condition, quelle que soit l'équation proposée, complètement inté-

grable ou non. Soit M, , une multiplicité ponctuelle à n — P dimensions définie par les p équations distinctes (

(3) Ke Ja (x, 2, nt) L,)= o, = 0, ae. pe ue 0

pour tout déplacement infiniment petit du point (x,, ..…., x,) sur

cette multiplicité, les valeurs correspondantes de dx,, …, dæ, vérifient les p relations linéairement indépendantes

(4) af 0, df, = 0, ae LRU

Si l'équation proposée w — 0 est une conséquence des 2p équations

(3) et (4), nous dirons que la multiplicité ponctuelle M,, est une multiplicité intégrale, ou, plus simplement, une ntégrale, de l’équation w — 0. La recherche de toutes ces multiplicités constitue l’objet du Problème de Pfaf. Nous appellerons dans la suite

forme de Pfaff ou expression de Pfaff toute forme linéaire en

dæx,, …, dæ,, dont les coefficients sont des fonctions quelconques

de &,, Lo, pe Dans le cas d’une équation complètement intégrable, équiva-

lente à

En effet, l'équation w — o exprime que cette fonction f conserve une valeur constante quand on se déplace sur une intégrale d’un

ordre quelconque. Toute intégrale d'ordre inférieur à 72 — 1 est:

. donc située sur une intégrale M,,, et réciproquement. Pour se toutes les intégrales M, ,, ilsuffira d'adjoindre à l’équation f — où la constante C a une valeur arbitraire, p— 1 équations me

quelconques, formant avec la première un système de p relations distinctes. Pour une équation de Pfaff à coefficients quelconques,

l'équation df— 0, on obtient immédiatement toutes les : multiplicités intégrales, si l’on connaît la fonction f'(x,, x, …,æ,).

à a So CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. 3 *s 2760 x | ; | 408 D ot à ; ee à 3 % nous DE même que le problème est résolu dès que l’on "15 $ connaît les multiplicités intégrales dont l’ordre est le plus grand | cs Sr: pue possible. | 53 10) PU -Pourque l'équation (1) soit une conséquence des équations (4), . 73 CAT PSN linéaires BD ds Cle, 5. dx, il faut et il suffit qu’il existe p face : !:' 4500 ne tours sk , tels que l’on ait A FR Rs tous Le systämes, de vies de das - RU à etpar suite que RS les n équations 4 ï cas ER ? Ce es re AA Te | F:S ie VS SE on SRE er ie | (G—1,2,..,n) Ds à soient compatibles en À,, }, Pie Re tenant ‘compte des rela- ve 4 tions (3) qui définissent la Re M,,. Tous les déterminants | TES De: CCE ordre e + 1 déduits du tableau | na.

eZ. DEA 4 À :. Ve % DORE PONS à D.

4 | | hf 00 SA 9x1 | DLe Le Le de.

mes ne :54 dla One Pan +4 à n FA Es et p + 1 ignes dire donc être: nuls en tenant Me | compte des relations (3). SNA ARS DT RE ON r MR Si les équations CR SEC | a es (3) + fi == GC; fa TR Dee + Re == En | vs 480

définissent une intégrale, quelles que soient logvaléurs des cons- IVoR S : | 3e : : D. NT Se EN : Fa RER tantes C, GC, …, G,, ces multiphcités forment une famille à :.! CS

aramètres, et 1l passe une de ces multiplicités par un oint . 1e

PP cr à P par un p Us

quelconque de l'espace {au moins dans certaines régions), et tous :, NS les déterminants d’ ordre p +1 ve tableau (T) Gore être identi- LRU Z quement nuls. | | PEER | On peut exprimer rene qu’ un PE de p ‘équations e Fa 4 “entre Ts A PRNOEU HE PER une ES de he (a). Suppo- EIE De | Re

2 16 ; { . | Er ?

d \ # de

* pr n'

sons ces. na résolues par rapport à p de ces variables, Lys Les, LV par exemple, de façon que la multiplicité M,, soit définie PR 1e p RGUAUQNE

Li = pi (x p+1 ss À RU "PTS Ty = P(lpgs ces ns j ve

les variables æ,,,, .…., æ, n'étant assujetties à aucune relation.

Pour que cette multiplicité soit une intégrale de w — 0, il faut et il suffit que les fonctions 9, 9», .…., % vérifient les 7 — p relations

RARE En En + Xi 0 G=p+in)

{ , : l ve où l'on suppose x, ..., Ty remplacées par 9,9, ....®, dans X,, X2, …, X,. Ces relations forment un système d'équations aux

dérivées partielles du premier ordre à p inconnues ; mais Ce Système est d’une forme très particulière, et on ne peut lui appliquer les théorèmes classiques d’existence, sans le transformer tout

d’abord, car chaque équation ne contient que les dérivées des fonc-

tions inconnues prises par rapport à la même variable. C'est par

des méthodes toutes différentes que l’on est arrivé à la solution |

générale du problème.

Il est cependant un cas PAttenliee où l'on peut Pare sans examen que les équations (5) àdmettent une infinité de solutions, c’est le cas où p=— n — 1. Le système (5) se compose alors d’une

seule équation, et l’on peut choisir arbitrairement n — 2 des fonc-. tions w,, 9%, .…, ©, ,. Toûte équation de Pfaff à n variables admet .

donc une infinité d'intégrales à une dimension, ou de courbes inté-

grales, dépendant de n — 2 fonctions arbitraires d’une variable.

L'existence de ces courbes intégrales est d’ailleurs à peu près évidente a priori. En effet, si l’on adjoint à l'équation w — o des équations de même formew, — 0,...,w, ,—0, linéaires en dx,, .…., dx, formant avec la première un système de n — 1 équations linéairement distinctes, on obtient un système d'équations différentielles ordinaires, dont l'intégrale générale représente une famille de courbes intégrales de l'équation (1), dépendant den — 1 constantes arbitraires, dont on peut disposer de façon qu'une de ces courbes passe par un point arbitraire de l’espace à n dimensions.