CHAPITRE. I. FORMES CANONIQUES

Dans le cas de l'équation à trois variablés; non complètement intégrable,

il n’existe pas d’intégrale à deux dimensions ; les seules intégrales sont des courbes. Si x, n’est pas constant pour une courbe intégrale, on peut prendre x, pour la variable indépendante, et les formules

Due —= f (&), L3 = f'(X)

où f(x,) est une fonction arbitraire, représentent une de ces courbes. Il existe, en outre, une famille :de courbes intégrales

dépendant de deux constantes arbitraires, définies par les relations

Die La == Co

Pour faciliter les énoncés, nous appellerons élément linéaire dans l’espace à x dimensions l’ensemble d’un point(x,,æx,, .…,æ,) et d’une direction (dx,, dx,, .…., dx,) issue de ce point. Un élément linéaire est dit un élément linéaire intégral de l'équation GRR OIDTSEQUE did RD, L] L se e , L1 . LJ (2 7 “e L tion (1). Chaque point d’une multiplicité M,, définie par les p équations (3) est l’origine d’une infinité d'éléments linéaires situés sur cette multiplicité et qui vérifient les relations

df, =, dfi=0, RE df, =:

Si M,,, est une He de l’équation de Pfaff w — o, tous ces

éléments linéaires sont des éléments intégraux, et réciproquement.

Dans la suite, tout élément linéaire issu d’un point déterminé sera

désigné seulement par l’une des notations (dx,, dx,, ..., dæ,), (OCR A NOUPE J4 | Pour Euler @£ une équation aux NHeauelles totales

P(x, y, z)dæx + Q(x, y, :) dy + Riz, y, £)d£ = 0

n'avait aucune signification, lorsque la condition d’intégrabilité

n’est pas vérifiée. Monge (?) fit remarquer cependant qu’on ne

(1) Znst. Calculi Prat Vol. III, Part. ARE P. 5. (2) Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris (1784), 3" 535.

dx,, dx;, .…, dx, vérifient la rela-

pouvait considérer cette ét comme MUR puisqu'il était possible d'y satisfaire d’une infinité de manières en prenant, pour æ, y, z des fonctions d’une seule variable indépendante. Mais le problème a été posé pour la première fois dans toute sa généralité

par J. F. Pfaff dans un Mémoire classique (t),ouil a montré que toute

équation aux différentielles totales, contenant 27 ou 2n — 1 variables, admet toujours des multiplicités intégrales dont le nombre

des dimensions est au moins éRal Ba IP0n En 1 La méthode :

employée par Pfaff exige les intégrations successives de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. Cette méthode a reçu depuis lors de nombreux perfectionnements, dont les plus importants sont dus à Gauss, Jacobi, Natani, Clebsch, frRent, Frobenius, Darboux, etc. |

On trouvera un historique très complet de la question dans le

Traité de Forsyth (Theory of differential equations, Part I, p. 80,

1890), et au début d’un important Mémoire de M. Cartan dans les

Annales de l'École normale supérieure, 3e série, t. XI, 1890, :

2. Changement de variables. — Toute expression de Pfaff wu — X,dx, + X,dx, + . re Xnd%n peut être mise sous une infinité de formes Dior au moyen d’un changement de

variables. Soient RAR LE

(6) D ei Vs » sn). Ve 25,7)

A: fonctions » es +. On dont le jacobien D(p1r-p2. -. qu) n’est pas | Par Por + Pn 4 D (yr; 2, +. Yn) :

identiquement nul ; les formules (6) définissent une transformation

ponctuelle faisant correspondre un à un les points de l’espace (dia RTE, l’espace (y,, Yes .…., Yn), Où tout au moins les ae de deux domaines D, et D, suffisamment restreints des deux espaces. À un élément linéaire (dy,, dy,, .…., dyn) de l’espace

(1) Methodus generalrs, œquationes differentiarum partialium, necnon æquationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcumque variabiles, complele integrandi (Abh. der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 70-136, 1814-1815). S HE

LE CHAPITRE Ï. —— FORMES CANONIQUES. 7 (Yis Yas +. Yn) correspond un élément linéaire (dx,, dx,, …, dxn)

de l’espace (x,, &, ..…, &n), pour lequel on a

(7) di — = da +. + Do Un | Œ—1,2,..,n).

Si l’on remplace, dans la première forme w, les variables æ; et

leurs différentielles par leurs expressions (6) et (7), il vient

(8) S uv dy + Yidys + ee + Yidyn 1—1

où l’on a posé

à d9n : | @) = og deg te + Ans G=1,2,.,2),

-et où l’on suppose naturellement qu’on a remplacé &,, .…., &æn par

les fonctions v,, »,, .…., w, dans les seconds membres. Les deux

. formes de Pfaff

Ÿ Xi, RE Ÿ Ydys

PE à i—1

se ramènent donc l’une à l’autre par un simple changement de variables, et mous les regarderons dans la suite comme deux expressions différentes d’une même forme. IL est évident que les multiphcités intégrales des deux équations |

Ÿ xd 0 Sidi