CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES

En résumé, si w est de classe paire, S, est identique à S,, ets, à S,. St w est de classe impaire, S, est identique à S, et S, à S. Les systèmes S, et S, sont toujours distincts, ainsi que S et 54.

Le système S,; est complètement intégrable. W suffit de le démontrer pour une forme de classe us or si l’on suppose w ramenée à la forme

Y,dy: + ... + Yon dY op

le système S, contient seulement 2p — 1 équations distinctes indépendantes de £ (t),

budys + .. + bsopdyey Le. A Dapadya + . +. + Vep,spdy2p DOREET PASSAT Yep :

avec 2p variables, et la proposition est évidente. Nous voyons en même temps que le système $S, contient une équation de moins que S,, et toutes les intégrales de S, sont aussi des intégrales de S,. Ces conclusions sont exactes aussi pour une forme de classe impaire, puisque dans ce cas S, est identique à S,. Dans le cas où west de classe 2p + 1, nous avons vu plus oué

que si l’on a intégré S, (qui est identique à S.), il suffit d’une quadrature pour achever l'intégration de S,.

Supposons maintenant que w soit de classe 2p, et que l’on ait obtenu les 2p — 1 intégrales des équations S,, qui sont indépendantes de la variable auxiliaire {. Faisons encore un changement de variables de façon que ces 2p — 1 intégrales soient précisément Yas as es Yap—as soit

UV, dy, +... LV dy FN UE Yoda, la nouvelle expression de w après cette transformation. | Le système S,4) correspondant doit être équivalent au système 4ÿj = 0. x TS 0, en faisant abstraction de la variable auxiliaire {. Ce système S,4) doit donc être vérifié, quels que soient dy,,, …, dy,, quand on fait dy, =0, ..., dy,,, —0. De plus, puisque dans ce cas S, est iden-

(1) Ces équations sont distinctes, car le PE EN des bix n’est pas nul, puisque w est de classe 2p,

exemple, et écrire

tique à se l'équation ol! — 0 doit être une conséquence des équa-

tions dy —0, :.., dy 10 Ce qui exige que l’on ait Y,,—0, Y,—0o. Les conditions u

a +... + bindyn bkapdyop +... Æbkndyn |: 7. SR = (Rise 2DErt)

Hé cent être vérifiées quelles que soient les valeurs de dYops NUS on doit avoir, pour toutes les valeurs de l'indice À supérieures à DT, bin __ Okh 1 OYi 1 OYk ee To Ces relations expriment que le rapport de deux quelconques des coefficients Yi, ..., Y,,1 eSt indépendant de Y5p» +, Yu La forme wlt) peut donc s’écrire encore, en changeant un peu les

notations,

œûi) — == = KM dy: +. + RARE

D D DRE PE NEO) dépendant que de Yi, Y2s «+. Yap-a

Le facteur K ne peut être une fonction des variables YasY2 es Yopa seulement, car alors « serait de classe 2p — + et non de classe 2p. On peut donc prendre ce facteur K pour la variable Jon Par.

lei) TE: Yo (Midy: dre Yand op):

Les Are du système S, sont évidemment Yi, +, Yoy-1r Yap et l’on voit que, dans le cas d’une forme de classe pare, D intégration du système S, s'achève sans aucune. quadrature quand on a

intégré le système S3. | | | | : à \ REMARQUE I. — Etant donnée une forme de Pfaff w, soit Q la. Ftene auxiliaire |

A — a A) kr rs

où Ln+1 est une variable are des variables Las its En quifiguz rent dans w. Le covariant bilinéaire Q! a pour expression

Q = Xn410! + Sert dtn+1(Xi024 +... + XndŒn).