CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. O
Le système analogue à S2 pour la forme auxiliaire Q est donc le suivant
Ln+41(audx, + ... + aind£n) — Xid£n41 = 0, (29) DOTE EE RES PR OT FR ÉLUS 0: (ST
et se compose par conséquent du système S: auquel on aurait adjoint l'équation dæn+11— 0. La classe de Q est donc supérieure d’une unité
à la classe de w, ce qui paraissait évident a priort.
Les équations du système X3, analogue à S3, pour la forme A, Aer de même
Ln+1
(25) audxs +... + aind£n — 9, (1=1,2,...,n);
et on en déduit, par une DRE IRER facile,
(23) Ÿ (ads +. + +andæ)) FN RL a F | Pn+1 Cela posé, nous avons à distinguer deux cas, suivant la parité de la classe de w. Si w est de classe impaire, on ne seu satisfaire aux équations de (E à} qu’en posant Q —.0, aud£i H\... + aind£n = 0; le Système >; s'obtient en adjoignant l'équation. fe — 0 aux équations de S3. Si w est de classe paire, on peut satisfaire aux équations de X; sans supposer Q — o, alors la relation précédente (23) donne w = 0, et le système 3, se réduit alors au systèmé S: ; :
GX + ... + aind£n d£n+1
| Xi 4 FRE
RE le
dEnt4 à Ln+1 tème admet, outre les 2p—1 intégrales indépendantes de Æn+1, une autre intégrale où figure Zn+1.
où l’on a écrit le dernier rapport Lai la place de dt. Ce sys-
REMARQUE IT. — On a remarqué aussi que les systèmes $S, et $, sont toujours distincts : le premier S; se compose d'un nombre pair d'équations, tandis que S, renferme un nombre impair d'équations
linéairement distinctes. Il est évident, d’après la signification même du
système S,, que ce système ne change pas quand on multiplie la forme w par un facteur quelconque K, comme on peut s’en assurer par un calcul direct. Nous avons fait remarquer, en effet (page 20), que deux éléments linéaires intégraux en involution de » = o sont aussi des éléments linéaires intégraux en involution de l’équation Kw — 0.
us,
ER
REMARQUE IT. — On peut opérer: comme il suit pour avoir l’ordre du système S, :
‘ads —+- se + aindEn 2 = anidX: + ; me On, n1dEn—1 X: e ie
X\dæi + ... HAN REA
Si on égale les premiers rapports à di, il faudra chercher le OMIS des équations RUE distinctes du système
and + ... + Gind£n — Xidt = 0, (Le sen) X\dæ + . © + XML 0, GED. SD di sont regardés comme les inconnues, et diminuer ce
nombre res unité. Cela revient à chercher l’ordre des premiers mineurs du déterminant SHOP tERS gauche
,@y1 os ...s ins — X:
PT LTÉE 3 Ans AA Xe He
Ont An2s .. Onns — Xy
As,
219 ns 0
Le ne sont pas nuls, et à diminuer ce nombre d’une unité.
L'ordre des premiers mineurs de H qui ne sont pas nuls étant tou- Jours pair, on voit bien que l’ordre de S, est toujours un nombre impair.
