CHAPITRE VII. — MULTIPLICITÉS INTÉGRALES. a ri

D'autre part, l'identité | at + a Le ut LS 4 9 ES DL)

donne de même

à VE) DV) 2 Vi) (8) Re de ‘+: 000 2j

Or, d’après ce que nous venons de remarquer, les fonctions V,;()

sont nulles identiquement toutes les fois que les fonctions Vi@)

et V;;%) sont nulles. Il s’ensuit, d’après le lemme cité plus haut,

que les équations (17) et (18) n’admettent pas d’autres intégrales

holomorphes s’annulant avec x que ViG) = 0, Vi) — 0-Les équations (15) représentent donc bien une intégrale M,+, du système de Pfaff, |

89. Problème. de Cauchy. — Le théorème précédent est “ l’analogue du théorème général d'existence pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles dont il se déduit. Nous allons.

maintenant indiquer un système de conditions qui déterminent complètement une intégrale M, admettant un élément KE, voisin d’un élément donné non singulier E,°, et telles qu’en faisant varier

ces conditions, on obtienne toutes les intégrales sualytiques, holo-

morphes dans le voisinage de cet élément.

Soient E, (x,°, x,°, .….,x,)) un point non singulier de l’espace,

E,° un élément intégral non singulier i issu de E;, E,° un élément

intégral non singulier passant par Ei°, …, E° un élément intégral non singulier passant par E°,-41. Les éléments polaires H(E;),

H(E:°), ..., H(E'y-41) sont définis par des systèmes d'équations .

linéaires que l’on peut écrire sous la forme suivante. Les r équa-

tions qui définissent H(E,) sont les équations de Pfaff elles-mêmes où l’on a remplacé x,, x, …, æ, par æ°, æ,°, .…, æ,0. Ces r équa-

tions peuvent être résolues par rapport à r des différentielles que nous désignerons, en modifiant un peu les notations, par

H(E) * eee: durs

L'élément polaire H(E,) est défini en adjoignant aux équations précédentes s, équations nouvelles entre les différentielles autres

que d2,, d2o, ue dzr. Nous supposerons ces équations résolues par rapport à s, différentielles nouvelles |

H(E,°) ds), ..., ds.

L'élément polaire H(E:°) a s, dimensions de moins que H(E,°) ; il est donc défini en adjoignant aux équations qui définissent H(E,°) s, relations linéaires entre les différentielles autres que ds,, …, dgr, ds), …, ds, 4). Ces s, relations peuvent à leur tour être résolues par rapport à s, différentielles nouvelles

H(E,) ds,®, ..…, ds,

et ainsi de suite. L'élément H(E° g—1) est défini en adjoignant aux équations qui définissent H(E°,2) Sg—1 équations nouvelles résolues par rapport à 574 différentielles H(E°9-1) . deg), . ., deg, SA Enfin Er s'obtient en adjoignant aux équations précédentes Py US équations nouvelles résolues par an à sy diffé>

rentielles " £ E,° 1 EPL PAUTEPRS ds, (9),

Toutes les différentielles