E,° | TRES
Il est clair que si l’on prend une suite d’éléménts intégraux non singuliers E,, E,, ..., E;, chacun d'eux étant contenu dans le sui- vant, voisins respectivement des éléments E,°, E,°, …, E,°, et leurs éléments polaires H(E,), H(E:), ..., H(E, 2) les équations qui définissent ces divers éléments pourront être résolues par rapport aux mêmes différentielles que les équations précédentes.
Nous désignerons dans la suite par
dy; .……. gs F Ci» … Cr, CALE ss Cs,(), .……s C1(9), ..s Ge) les coordonnées de l’élément E, #67 er UT ..… Lg —= dy; DE LA == Cs (9).
D’après la forme des équations qui définissent E,°, toute intégrale M, admettant cet élément peut être représentée par un système de n —g équations permettant d'exprimer #1, ..., 2, al), …, ss (9 en fonction de æ, x, …., æy qui jouent le rôle de variables Tee Il en sera donc de même de toute intégrale M; admettant un élément Ey assez voisin de Es.
Pour déterminer toutes ces intégrales, nous démontrerons d’abord le théorème suivant :
Il existe des intégrales M, (, P < q) représentées par des équations de la forme LS
Ur. gi = Pit, Lo, …., Tp) - sg) = pla, Ta 2 Lp);
| Lp + 1 —= Aus +. Lg —= Ag; les fonctions : et Di) étant des fonctions holomorphes de Lis Las +. Cp dans le voisinage des valeurs x, = 4,, .…, Xp = Ap, prenant pour Æi = @, .…, Æp — 4» des valeurs suffisamment voisines des coordonnées ci, cit) de l'élément E,, et satisfaisant aux conditions suivantes : | :
Les fonctions DiA(x,, da, …, Th) où k>p— — 1, sont arbi- {raires ;
effet, qu'il existe des courbes intégrales représentées par les
les fonctions ; #) étant arbitraires, et fe finotions Dies à, étant | déterminées par un système d’ équations différentielles du premier ps
e Ta Gi Les fonctions b,(P-1), ... Ps LP 15e réduisent pour à D = Gp 2710
à Sp-1 fonctions arbitraires de À FAR ART Tp
PE Een VC A ce pa) F4 2] k. ACT Les …. Tp=1) ;
Les fonctions æ,(P-2), …, ds, Nr se réduisent pour p = ap, ie RyA Gp 0 Sp-2 ae arbitraires de a FAC Tp—2 se.
‘ “e 0 . . ° . . . . 0] d” Li LD D L L »." . -e L
ptP-2(x4, ….) Lp—2) ...) ?s, Pas; …. Tp—) ; ” - È ns 3 4 | ? ie
Les s, fonctions d, il ), .…., Ps se réduisent, Pour Ts Gr HA + Xp = Qp à Si fonctions arbitraires 5 Lis a =
aa), v..) 0) à
Enfin, pour Ly — Re FR Tp = A» 24, PES » £r se réduisent à à r constantes arbitraires se 2 PRE REC ET
Das Pas Er
On suppose bien entendu que toutes les fonctions an sont holomorphes dans le voisinage des valeurs initiales @, ..…, Gp; et” | prennent en ce point des valeurs voisines des FHIPSS corres- e ne à pondantes de E,. - Er SRE sr : Debr = La démonstration est immédiate pour p—1. Il est évident,en =:
équations N PAS TE ee | Bas
ln LT Ag AT SOUPER AE PAR) LORS A— : P(æ), voir Ep PAIE CU ENSREEE
ordre, ce qui permet de choisir arbitrairement les valeurs de CERTA fonctions pour &, — &. } À PAS CP ER PE à . Pour démontrer que le théorème est général, il suffit donc de LR prouver que, s'il est vrai pour une valeur de p = 9 il est encore pe + vrai pour la valeur p Na ee Soit M, une HER RUE définie par les HU |
ue
être définie en prenant pour les £;, 3%) et &p+s, …, æy des fonc-
tions de Ti, …, Di, tp+1 se réduisant pour Zp+1 — Ap+1 AUX fonctions qui définissent M,. D’après le théorème général du précédent paragraphe, et la forme sous laquelle on a écrit les équations de
# = définition de l'élément H(Ep), le système (Il’) qu’il faut intégrer |
pour avoir les multiplieités M,}1 peut être résolu par rapport à
con “2: TBE ont) = gs (P) rs j Are à PE DR, Ce .. 9 DTp#1 HET TUE LT ST as Dacp+1
et on peut choisir ie les fonctions PES » Lg et
- #4), où k=> p, déve, Lp#1 ainsi que les fonctions de SES Ln auxquelles doivent se réduire les autres inconnues pour Zp11—4@p+#1. Or si l’on prend-pour xp», ..…, & les valeurs constantes Lp+2 = Ag+9; de Lg == dy; pour les fonctions, qui peuvent être choisies arbitrairement, des fonctions de æ,, ..., xhp441, se réduisant pour %p41 — Apt AUX fonctions correspondantes relatives à la multiplicité M,, les valeurs initiales des autres fonctions 21, .. 1 28, (P). étant choisies de la
*." |‘ méme façon, on voit que le théorème se encore vrai pour la valeur p + 1. Donc il est général.
| énoncer la proposition générale suivante :
ee Le système de Pfaff S, de genre g, considéré comme définis-
MR Conte, .… £s, 9) en fonction des variables TIR admet
- un système de solutions et un seul pour. lequel les fonctions inconnues sont des fonctions ARS DOCS ESS Tg dans
le domaine du point æ, —=@, …, Lg = ay, tel que les sy fonc- Cctons eme 0l,S 4e soient identiques à s, fonctions arbitraires | i
(Ts, s…. Lg) pics CAUICEE Las Lg)»
