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l'intégrale M, ne dépend que de fonctions arbitraires de moins de v variables. Le problème de l'intégration peut alors être sim-

plifié par une méthode qui généralise la méthode de Mayer pour

les systèmes complètement intégrables. Nous renverrons au

Mémoire de M. Cartan pour l'exposition de cette méthode.

, Remarque. — Un système de genre g peut admettre des inté”

grales M4 à plus de g dimensions, mais tous les éléments inté-

gTaUx Ex de ces multiplicités sont des éléments singuliers, et les intégrales elles-mêmes sont dites intégrales singulières. nes exemple, le système da, — x,dx, (LE RE CRT CHE qui est de genre un, admet une famille d’intégrales singulières M,, représentées par les équations F5

DC, C0, æ—(C.

L'étude générale des intégrales singulières d’un système de Pfaff exigerait encore des recherches nouvelles, d'autant plus nécessaires que ces intégrales singulières donnent ges la

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véritable solution du problème qui a conduit au système de Pfaff. ; | |

90. Application aux équations aux dérivées partielles. — Les systèmes les plus généraux d’ équations aux dérivées partielles, à un nombre quelconque de variables indépendantes et de

fonctions inconnues, ont ‘été, depuis Cauchy, l’objet d’un grand

nombre de travaux. Des résultats définitifs ont été obtenus par

M. Riquier (‘), dont les recherches ont permis de résoudre com-

plètement le. problème suivant : Etant donné un système de m équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque, à un

nombre quelconque de variables indépendantes et de fonctions

inconnues, reconnaître si ce système admet des intégrales et, dans le cas de l’affirmative, préciser les arbitraires (constantes ou je tions) dont dépendent les intégrales. |

Ce problème n'est lui-même qu’un cas particulier de l’intégration d’un système de Pfaff. En effet, on peut toujours supposer qu’un système d'équations aux dérivées partielles ne renferme que les dérivées du premier ordre des fonctions inconnues ; il suffit, pour que cette condition soit réalisée, d’ adjoindre aux fonctions

inconnues quelques-unes de leurs dérivées-partielles, et le système

ainsi obtenu peut être remplacé par un système de Pfaff. Ce nouveau procédé est évidemment plus symétrique, puisque rien ne distingue les variables indépendantes et Îles fonctions inconnues. Il est vrai que, pour ce système de Pfaff, on ne cherche que les

intégrales M, qui n’établissent aucune relation entre les variables x, X2, ..., &,, considérées comme variables indépendantes

dans le système d'équations aux dérivées partielles d’où l’on est parti. Mais M. Cartan (?) a montré qu’on peut toujours prolonger un système de Pfaff de façon que l'intégrale générale du nouveau

système n’établisse aucune relation entre n formes données de

Pfaff w4, w,, …, w,. Dans uné note récente (5), M. Maurice Janet a montré comment l'étude directe d’un HÉYSiome d'équations aux

(‘) Voir en particulier son grand ouvrage Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles (Gauthier-Villars, 1910).

(2) Annales de l'Ecole Normale, série 3, t, XXI (1904), p. 169. ,

(2) Les caractères des modules de formes et les systèmes d'équations aux

dérivées partielles (Comptes rendus, t. CLXXIV, 1922, p. 432),

À dérivées etbole à conduisait à introduire certains es

entiers analogues aux caractères successifs d’un système de Pfaff. Les deux méthodes doivent, sans doute, être équivalentes quand on pousse les calculs ; jusqu’au bout. Il semble cependant que, dans

É- Eu bien des cas, les méthodes de M. Cartan sont préférables. On peut, Fe, fon effet, grâce à l'emploi des formes symboliques, présenter les É= calculs sous une forme abrégée qui permet souvent de les achever ER sans beaucoup de peine. Il suffit, pour s’en convaincre, de par-

— courir les Mémoires récents de l’auteur (!).

(:) Sur Les systèmes en involution d'équations aux dérivées partielles du second %. - ordre à une fonclion inconnue de trois variables indépendantes (Bulletin de la er Société Mathématique, t. XXXIX, 1911, pp. 352-443). La déformation des hypersurfaces dans l'espace euclidien réel à n | dimensions (bid., t. XLIV, 1916, pp. 65-99).

Pas La déformation des hypersurfaces dans l'espace conforme à n > 5 dimensions CRE (1bid., t. XLV, 1917, pp. 57-121). rs + Sur certaines hypersur faces de l'espace conforme réel à cinq dimensions (/bid., t. XLVI, 1918, pp. 84-105). | 2 Sur les variétés de courbure constante d’un espace euclidien ou non euclidien oo (Zbid., t. XLVII, 1919, pp. 126-160 ; t. XLVIII, 1920, pp. 132-208). $ EX Sur. la déformation projective des surfaces (Annales de l’Ecole Normale supérieure, série 3, t. XXXVII, 1920, pp. 259-356). Sur le problème général de la D a (GC. R. ce RERE de Strésbourg,