SD

Nous ne nous occuperons que des intégrales appartenant à des familles d'intégrales telles qu’il passe une intégrale de cette famille et une seule par chaque point de l’espace, ou tout au moins d’un domaine assez restreint de l’espace. Ces intégrales M, sont alors représentées par un système d'équations

(24) | fa = Ci Je = Ces s..) fnr = Cn-r,

Ci, Cos +, Cn-r étant des constantes arbitraires.

La détermination de ces familles d’intégrales à 7 dimensions se ramène à l'intégration d’un système d’équations aux dérivées partielles du premier ordre, dont l'étude ne semble pas avoir été abordée, lorsque p est => 1. Il est facile de former ce système

d'équations en s’appuyant sur les propriétés d'invariance d’un produit symbolique. |

Proposons-nous d’abord de rechercher s’il existe des familles

d’intégrales à n — 1 dimensions. Soit (25) FE de 23 de C

une équation définissant une famille d’intégrales de cette espèce.

Imaginons que l'on prenne un nouveau système de variables de

façon que l'équation de cette famille d'intégrales soit, avec les nouvelles variables,

Yi = C;

la forme w se changé en une SE OUSCIÉe forme symbolique w de degré |

p en dy,, dy, …, dy,. Pour que l intégrale fs étendue à une mul-

tiplicité quelconque de degré p, sur laquelle y, est constant, soit nulle, il faut et il suffit évidemment que dy, figure dans tous les

termes de & ou, ce qui revient au même (n° 25), que le produit ody,

soit identiquement nul. Si l’on revient aux variables primitives, le

produit ody; se transforme en wdf (n° ae et l'on peut énoncer le

théorème suivant :

Pour que les multiplicités RAS définies par lé DRE G,

soient des intégrales de l'équation w —0, il faut et il suffit De le produit symbolique wdf soit identiquement nul.

En égalant à zéro les coefficients de tous les termes de ce ne développé, on obtient un système d'équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre qui doivent être-compatibles pour

que l'équation w — 0 admette des familles d’intégrales à n — 1

dimensions. Dans le cas SUN où p—n— 1, le produit symbolique wdf ne renferme qu'un. terme en ddr dE et le système qui détermine f se compose d’une seule équation.

En simplifiant un peu les notations, écrivons

w — À,dzx, … dx, + À,dx,.. dx ND DETTE à OU LC EC -d, 1

le produit wdf a deux expressions différentes suivant la parité:

de n. Sin est impair.

nn)

is RAS FA, . (dxide, … dx

ptit » iuptt dé. ét à