POP ONMEDA PE AR AE PS RE RES OST NON PAR VRAIES EIRE RRIEE
odf= (A af. + B Ua + C %) FAT ÉRER 0 Er ss c ne F4 , , . 7 0 , | a“ 23 °4 È Pour que l'intégrale 1, rte à une portion quelconque d’une sur LES fée, S représentée par l'équation f = f, soit nulle, il faut et il suffit PS que la fonction f(x, y,£) vérifie la condition per <S FRERE arche IIS Ceci est bien d’accord avec la signification de l'intégrale Jo, car un . ; élément de cette intégrale est égal à (A cos « + B cos 8 + C cos y) do, SITE u,B,7 étant les angles que fait la normale à la surface avec les axes, et 554 à la condition (26) exprime précisément que la normale est perpendicu- 00 L RON laire à . droite de paramètres directeurs APE CR TE NE ee BE. Si w est de degré quelconque, et admet r FEES du premier n
degré Hnéairement distincts Di We, de, Ory la forme w est égale aun
FRA sie AREA | Re 1 “a . © — Qoywa re pr | : : RUES D : g.
la forme Q n’admettant plus de diviseur linéaire. Pour que le pro- Ne duit wdf soit nul, df doit être un diviseur de w et par suite une T5 combinaison linéaire des r diviseurs 04, &o, ..,, &y, «54 RURTE pe 104 + LEE E . 712 Àptr. < x AR . à J ne 2 - On est fes ramené à la recherche des combinaisons intégra- RQ | 4e 4 + JR bles d’ un système de r "équations de Pfaff (Leçons, n° 25). Si. 7 FOSRESS G. Prob. ' 8. | LES : Ÿ . : ET :
# va re + : ri
n’admet pas de diviseur linéaire, on ne e peut avoir wdf — 9, quelle que soit la fonction f.
La recherche des familles d’intégrales à r Éimensions conduit à un problème d'analyse plus compliqué. Supposons que les équations (24) représentent une famille d’intégrales, et imaginons que l’on ait choisi un nouveau système de variables tel que cette famille d’intégrales soient représentée par les équations |
Da == Gus Yo — C, …., Yn=r = Cn-r.
Soit w ce que devient la forme w avec ce nouveau système de
variables. Pour que l'intégrale ff”, étendue à toute multiplicité
d'ordre p, sur laquelle y,, y, .…, Yn-r Ont des valeurs constantes, soit nulle, il faut et il suffit que chaque terme de & contienne au
moins un des facteurs dy,, ..…., dyn-r, Ou, ce qui revient au même,
que le produit symbolique a. … dyn-r Soit identiquement nul.
En revenant aux variables primitives, nous avons donc la proposi-
tion suivante : | Pour que les équations (24) représentent une famille d'inté-
grales à r dimensions de l'équation w — 0, il faut et il suffit que le produit symbolique
| wdf,dfs dfn-r
soit identiquement nul.
En égalant à zéro tous les coefficients de ce produit symbolique
développé, le nombre des équations obtenues est égal au nombre
CHE des combinaisons de n objets ñn + p—ràan+p—r. Le —
nombre des fonctions inconnues étant égal à, il y a lieu de pré-
sumer que ces équations sont compatibles dès que r est égal ou
—" supérieur à CET , et ne le sont pas, tout au moins si les coeffi-
cients de w sont quelconques, si r est inférieur à Gite , mais il y
aurait lieu de pousser plus loin cette étude, ce qui serait sans doute possible en généralisant les méthodes employées par M. Cartan pour les systèmes de Pfaff (?). Il serait important en particulier de connaître la valeur minimum de n — r. Il est un cas
(!) Voir une note de M. Cerr dans les Comptes rendus (tome 170, p. 3745 1920).
