CHAPITRE Ill. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

limite où les équations du système précédent se réduisent à une seule, c’est le cas où p —r ; on peut même choisir arbitrairement n—r—1 des fonctions /;, et la dernière est déterminée par une équation linéaire du premier ordre. L’existence de ces multiplicités intégrales à p dimensions était évidente a priort; en effet, si l'on sé donnaitæ,,,, ..,X,.en fonction de x, ..., &,, ces n — p fonctions doivent satisfaire à une seule condition pour que

l'intégrale “ w étendue à la multiplicité ainsi définie soit nulle.

REMARQUE, — Pour qu'une multiplicité définie par les n — r équations fi = 0,.f2 —0,..., fn—r = 0 soit une intégrale, 1l n’est pas nécessaire que le produit symbolique wdf, ... dfn-r soit nul identiquement ; il suffit que tous les coefficients de ce DOME développé soient nuls en tenant compte des EARRRS SE — 0 elles-mêmes. |

Les conditions pour qu’une FARMER Mr soit une Fntégrale d’une équation symbolique « — o peuvent s’écrire d’une autre façon. Considérons la multiplicité M, définie par les formules

pla PPS > &r), …., En = on(Lis es Dr):

Si on remplace dans w les variables ær+1, ..., &n par les expressions précédentes, et les différentielles par les expressions correspondantes, en ayant soin de conserver l’ordre des facteurs dans tous les produits, on obtient une forme symbolique w, de degré p à r variables, qui doit être nulle identiquement, puisque l’intégrale fw, étendue à une multi-

plicité quelconque d’ordre p dans l’espace à r dimensions {24, æ+, ..., ær)

doit être nulle. Il en est ainsi en particulier toutes les fois que r est inférieur à p, ce qui conduit à considérer toute multiplicité d’ordre inférieur à p comme une multiplicité intégrale d’une équation symbo-

lique quelconque de degré p.

Si r est supérieur à p, les fonctions #r411, .…., on devront satisfaire à un certain nombre d'équations renfermant les variables, les fonctions inconnues, et les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions.

Tout système d'équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables et d’inconnues peut toujours se ramener à un système d’équations de Pfaff, en faisant figurer dans ces équations un nombre suffisant de dérivées des fonctions inconnues. Dans le problème actuel, la réduction à un système de Pfaff peut s'effectuer très simplement. Considérons un système dé r équations de Pfaff

oi = AudX1 + QisdXa + .… + aind£n = 0 (LME NT CD):

une multiplicité intégrale de ce système sera aussi une multiplicité

PORC ET EE." INSEE Et à D

intégrale d’une équation symbolique Q = o de degré supérieur si, en remplaçant r des différentielles dx: par leurs valeurs tirées des relations wi — o dans la forme Q = 0, on arrive à une forme identiquement nulle, On obtient ainsi un certain nombre de relations entre les coefficients aix des formes wiet les coefficients de la forme Q. Ces relations permettent d'exprimer les a;jx; au moyen des variables 2, æo, .…, æ, et d’un certain nombre d'indéterminées )4, 2, …, Ag. En substituant dans les équations w; — 0, on arrive à un système d’équätions de Pfaff entre les n + q variables æ4, 2, ... Mn; M, da, ..., kg, Ces dernières variables ne figurant que dans les coefficients. a

La méthode précédente donnera bien toutes les intégrales, car elle généralise la dernière méthode indiquée pour déterminer les multiplicités intégrales Mr. |

Le résultat est particulièrement simple lorsque la forme symbolique donnée est le produit de p formes de‘Pfaff Q — oyw2 ... w,. Soit Mr une multiplicité intégrale à r dimensions représentée par les équations

Di gifs ss Ur), (12, ..n);

quand on ntee les-variables æ; et leurs différentielles par les fonctions oi et dy; dans les formes de Pfaff 6, w2, ... on obtient p formes de

Pfaff [4, Mo, ..…, Up, Où ne figurent plus que les variables u; et leurs

différentielles. Pour que M, soit une multiplicité intégrale de l’équation symbolique Q = 0, il faut et il suffit que le produit [lille … 11, soit identiquement nul, c'est-à-dire (n° 24) qu’il y ait une relation linéaire entre ces p formes, Ml + .. + 91) = 0: La multiplicité ai est donc une intégrale d’une RÉ de Pfaff de la forme

Moi + 209 Æ 2. + pop = 0, |

et la réciproque est évidente, car on déduit de la relation précédente que le produit symbolique w4w2 … op est identiquement nul. L'intégration de l’équation symbolique oiw2 … wp = 0 se ramène donc à l'intégration

de l'équation de Pfaf Mo, Lama ++... + ve 0 où entrent n + p — I inconnues, be var dates di et 1 Re 2. Par exemple, l'intégration de l’équation symbolique (us ysdin)(dys — ysdin) = 0 se ramène à l’intégration de l'éjuation de Pfaff

dy — ysdy1 — À(dys — ÿsdyr) = 0,

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