CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

rentielles, dans les équations du système associé ne figureraient que r — s différentielles dz,, ..., dzr, et par suite ce système ne pourrait renfermer r équations linéairement distinctes.

Ceci permet d'étendre la notion de classe à une forme symbolique de degré quelconque. On appelle ainsi le nombre minimum de variables au moyen desquelles on puisse exprimer cette forme par un choix convenable des variables, ces nouvelles variables figurant soit dans les coefficients, soit sous le signe d. Le résultat qui vient d’être démontré prouve que la classe d APR dérivée est égale au FEU de celte forme.

Nous dirons qu’une forme de classe r est ramenée à une forme réduite lorsque dans son expression ne figurent que r variables et leurs différentielles. II y a évidemment une infinité de manières de ramener une forme dérivée à une forme réduite, mais toutes ces formes se déduisent l’une de l’autre par un changement de variables portant sur les r variables qui y figurent. Soient en effet |

YBrdyidyrdyr, YCdsidsndsr (HS as Er)

deux expressions réduites d’une même forme dérivée. Le système associé S’ peut être écrit sous l’une ou l’autre des deux formes

(dy, = 0, dyr—0) (dr, —=0,.…., dr =0).

IL s'ensuit que les équations y; Gi, ou g: = Ci (i—1,2,...,r) représentent l'intégrale générale d’un même système complètement intégrable de r équations. On a donc des relations Yi ilBys +. £r), et l’on passe d’une des formes réduites à l’autre par un changement de variables.

Les variables qui figurent dans une forme réduite de Q’ consti-

tuent donc un système d’intégrales du système associé S’. Si l’on

peut ramener Q' à une forme réduite, on a Br là même intégré le

système S’.

84. Classe d’une forme quelconque. — La classe d’une forme symbolique quelconque se définit comme la classe d’une forme dérivée. Il est clair que, quand on passe d’une forme Q à sa dérivée 9/, on n'introduit aucune variable nouvelle qui ne figure

pas dans Q; la classe ne peut donc augmenter. Par suite, si 0! est de classe r, Q est au moins de classe r, mais elle peut être de classe supérieure à r. Supposons la forme a! de classe r mise sous une forme réduite où figurent seulement r variables et leurs différenüelles; on peut par des quadratures (n° 26) déterminer une forme O, ayant pour dérivée a’ et où ne figurent que les mêmes variables qui figurent dans à’. Cette forme à, est donc de classer, et la différence a — a, est une différentielle totale symbolique qui peut dépendre d’un nombre quelconque de variables ne figurant pas dans 0’, Si Q n’est pas une forme de Pfaff, sa classe peut donc être un nombre quelconque supérieur à r. | Pour déterminer la classe d’une forme de degré supérieur, prenons par exemple une Hoee du second degré, qui ne soit pas une forme dérivée .

(ko) | = d'Axkdridtn ;

FRS | le raisonnement est doi général. Soit Q, la forme ride Ga 0, = erTlo — e7F1 62 et