CHAPITRE II. -— FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES
tions linéairement distinctes, 1l est équivalent à un système de
r équations
di =#0; PR de o,
as fes +. fr étant r fonctions indépendantes de x,, &,, ..., æ,. La démonstration est tout à fait analogue à celle qui a été déve-
loppée au n° 5, pour le système S,, qui n’est au fond que le système
S' correspondant à la forme dérivée w' d’une forme de Pfaff. La
propriété que l’on veut établir est encore évidente si le système S' contient n ou x — 1 équations distinctes. Il suffit donc d'examiner
le cas où ce système S’ contient seulement r équations distinctes
(r Zn — 1). On peut alors adjoindre à ce système n — r — 1 équations de Pfaff
Ad, + + AindTn — 0, (G—=1,2,...,n—r—1),
dont les coefficients peuvent être choisis arbitrairement, à condition de former avec S/ un système de 7 — 1 équations linéairement distinctes. Le système ainsi obtenu admettant n — 1 intégrales premières, supposons -que l’on ait choisi un nouveau système de variables (y,, ys, ..., y,) de façon que ce système admette les combinaisons ‘intégrables dy, — 0, ..…., dy,, — 6. Après ce changement de variables, la forme Q' se change en une nouvelle forme
> By LAN :
qui est aussi une différentielle totale et et le système S'
devient, par le même changement de variables,
nm
+ Badys = 0 NE B AR RON E
LEA Ce système doit être vérifié identiquement quand on y fait dy, = 0, .…, dy,, — 0; tous les coefficients B;;, sont donc nuls,
quels que soient les indices # et k. D'autre part, puisque la
forme o/est une différentielle totale symbolique, on a les relations
dB;x1 dBzun dByni dBrik __
nee JUEE OO YEROUR LUN ; « DBiké | — —0o, puisque Brn —= Bin = Bisn —0.
Après le changement de variables, la forme à! et le système S' ne renferment done ni y,, ni dy,. On a donc, par ce changement de variables, ramené le système S' à un système de 7 équations à n—1 variables. nie
Sir — n — 2, le théorème énoncé est établi. Si r << n — 2, on remarquera que le nouveau système S' est associé à une forme dérivée a! à n — 1 variables. On peut done, par un nouveau changement de variables, le ramener à un système équivalent de r équations à n — 2. variables, et ainsi de suite. On finira donc par le ramener à un système de r équations à 7 + r variables, c’est-à-dire à un système com plètement intégrable.
Voici une conséquence importante de ce théorème. Le système S' étant complètement pres est équivalent à un système de r équations |
Fibre df, = 0, …, dfr—0;
nous prendrons un nouveau système de variables (y,, y,, .…., y,)
OÙ Yi = fi, «.., Yr — fr. Avec ce nouveau SOL, de variables, la forme a’ devient :
(39) A mo z Le T
et le système associé S' doit être vérifié identiquement quand on y fait dy, — 0, ..., dyr, quels que soient dyrr1, ..., dyn. I faut
pour cela que tous les coefficients B;x, où l’un des indices est supé-
rieur à r, soient nuls, et on en déduira, comme plus haut, que les autres coefficients sont indépendants de yr+4, ..., yn. Dans la ‘ nouvelle expression dé a! ne Jiqurent donc que les r variables Yas --, Yr et leurs différentielles dy,, ..., dyr.
Quelles que soient les variables choisies, on ne peut trouver pour Q/ une expression où figurent moins de r variables (soit dans
les coefficients, soit sous le signe d). En effet, si l’on pouvait
mettre Q/ sous une forme 0 Gindridender, t,'k, l
où ne figurent que r— s variables £,, #,, ..., £r. et leurs diffé-
