CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Ce système S’, est complètement intégrable, d’après la proposition générale du paragraphe précédent. C’est aussi un système covariant de la forme a, relativement à tout changement de varia- À

Si l’on adjointaux équations du système S’, l'équation d'En+4 EE LA on obtient un nouveau système complètement intégrable qui, abstraction faite de la dernière équation (la seule qui contienne dTn+41), se compose des deux groupes d'équations

- - n ’ (45). DENT D Ada: = 0; fee a Er à = = =

Ce système S + S’ s'obtient donc en prenant toutes les équations

des deux systèmes S et S’. Il est évident, d’après cela, que c'est un système covariant de la forme a, et il serait facile de démontrer

directement qu'il est complètement intégrable, par un raisonnement tout pareil à celui du numéro précédent. Si le système S + S'se compose de q équations linéairement | distinctes, la forme à est de classe q. 2e s Soit en effet df, — 0, ..., dfj —0o un système de g intégrales

premières distinctes de S + S’. Si l’on prend un nouveau système

de variables (y,, ..., Yn) telles que y, — f,, ..., Ya — fa la co à se sauge en une nouvelle forme

a =?) D Badyidyn “a | =

et le système S + S' correspondant à cette forme doit se composer des qg équations dy, = 0, ..., dy; — 0. Tous les coefficients B;x,

B;x, où l’un des indices est supérieur à g, doivent donc être nuls.

Il s'ensuit que les différentielles dy;, ..., dy, figurent seules dans l'expression de 0. De plus, tous les coefficients Bin, où 1 <q +1, k<q+1,ne dépendent que de Yys Ya ++, Yg- On a par exemple, Sig +1,k <q + 1,

dB; dBAn dBni

un og x?

Bizn —

2B;x Un

pendant de yn-1, ..., Yg+1.

et par suite

— 0 ; on démontrerait de même que B;r est indé-

En second lieu, il n’est pas possible d'exprimer a au moyen de g' variables z,, £,, ..., 4! et de leurs différentielles, si g << q. En effet, le système S + S', ne contenant que g’ différentielles, ne pourrait se composer de q équations linéairement distinctes.

Soit c la classe d’une forme 0, c' la classe de la forme dérivée. :

Lorsque le systèmeS ne renferme pas d'équations linéairement distinctes des équations deS',onac=— c’, et il suffira d'intégrer le système S' pour ramener Q et Q' à une forme réduite par un même changement de variables.

Sic> c', le système S + S’ contient c — c! équations de plus que le système S”’. Pour intégrer le système S + S', on intégrera * d’abord le système S’, et il restera ensuite à intégrer un système complètement intégrable de c — c' équations.

Exempze. — Soit 0 — x°dx,dx, + x,dx,dx, + dx,dæx, ; ona

= an dL;02 dep dr dasdr,, Le système S’ ne comprend que trois équations distinctes DHL ER 0, QUE 0 Te tandis que le système S + S' comprend quatre équations dx, =0,. dx, —0, de, — OUT .

La forme Q est donc de classe quatre, et la forme a! de classe trois. On peut écrire en effet

Lu dx,dx,d(22,æ, + Lj).

REMARQUE. — Toute forme de degré p et de classe p peut être ramenée à la forme Q — Kdy,dy, ... dy,, où K doit être une fonction de y,, ..., y,. On peut donc supposer K—1, et à est une

différentielle totale symbolique. |

Toute forme de degré p et de classe p + 1 peut de même être ramenée à la forme Ynrdyidys .. dy, (n° 28), et n’est pas une différentielle totale symbolique. La forme dérivée est aussi de classe p + 1.

APPLICATION. — Etant données p fonctioris quelconques indépendantes Ja ..,, Jr de n variables æ1, &2, .., Æn(n => p), les-déterminants

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