LES ENSEMBLES PARFAITS DISCONTINUS DE SIXGULAKITÉS

autant qu'on veut de toute valeur donnée; si ce point était acquis, on en déduirait sans peine que tous les points singuliers sont points d'indétermination complète. Il suffit pour cela de démontrer que /*(z) ne peut pas être bornée dans C^ car^ pour démontrer que / approche de b^ il suffit de montrer que -. — j-

grandit sans limite, et -. a les mêmes singularités que /*.

Ensuite, il suffit de démontrer que F ne peut pas être bornée^ car F est bornée hors de C (on peut la supposer nulle à l'infini) ; si donc F n'est pas bornée, c'est dans C^ et, comme '>p est bornée dans C^ c'est donc que /ne l'est pas.

Supposons donc F bornée dans tout le plan. Posons

iv = F(z)

et étudions l'ensemble des points w quand ;: décrit son plan. Cet ensemble est continu et borné. C'est un continuum. Il admet donc une frontière L^ ligne cantorienne fermée. On peut voir aisément (ce point sera établi dans le Chapitre VI) que les points singuliers de la fonction inverse z{w) sont tous des points transcendants ordinaires : quand w tend vers un de ces points, z tend vers une valeur unique, savoir un des points singuliers de l'ensemble discontinu. Considérons une ligne régulière de la fonction z{w) voisine d'un arc de L. Quand w décrit cette ligne^ :; prend un ensemble continu de valeurs^ et, quand cette ligne tend vers L^ ce continu variable a un continu limite ; ce continu limite doit donc se réduire à un point^ car il ne peut comprendre que des points singuliers de w. Soit :3o ce point. On peut donc dire que sur la ligne L la fonction z est constante et prend la valeur z.^. Elle est donc réduite à une constante.

Cette démonstration, qui n'est pas tout à fait celle de M. Painlevé, ne pouvait guère paraître répréhensible à cette époque^ sauf à son auteur^ qui ne la donnait qu'avec une demi-conviction et essayait d'ailleurs d'ajouter quelques explications complémentaires (la forme était légèrement différente de celle ci-dessus). Mais, pour quiconque a lu seulement les deux premiers Chapitres de ce Livre^ il apparaîtra d'une façon évidente que^ soit au point de vue de la théorie des ensembles^ soit au point de vue de la

notion de fonction analytique, la démonstration précédente est tout à fait insuffisante.

Mais^ d'autre part, n'est-il pas permis de dire^ même aujourd'hui^ que cette démonstration doit tout au moins être regardée comme suffisante pour étayer la conviction que l'énoncé auquel on aboutit doit être exact^ que pour le démontrer vraiment il n'y a qu'à reprendre avec la rigueur nécessaire les différents points de ce canevas ?

De nombreux essais dans ce sens ont été tentés par M. Painlevé. Toujours quelque difficulté se présentait qui obligeait à laisser un point dans l'ombre. Le dernier point^ notamment, savoir^ le fait que la fonction z serait constante dès qu'elle l'est sur une ligne^ paraît des plus difficiles à aborder. Laissons-le franchement de côté^et supposons qu'on ait pu en toute rigueur établir le reste de la démonstration ; nous n'en aurons pas moins obtenu un résultat intéressant et important^ savoir^ que le point singulier Zo n'est pas transcendant ordinaire, puisqu'en ce point w prend toutes les valeurs de l'ensemble L^ c'est-à-dire une suite continue de valeurs. On en conclurait aisément que tout point singulier appartenant à un ensemble discontinu est transcendant essentiel ou limite de points essentiels (en prenant le contour C très petit autour du point qu'on veut étudier).

C'est ce dernier résultat que j'ai essayé de démontrer dans ma Thèse, après avoir en vain tenté de lever les difficultés qui avaient arrêté M. Painlevé dans la démonstration du théorème général sur l'indétermination complète. En tous cas, la conviction de M. Painlevé était faite et avait entraîné la mienne. Ma démonstration, qui avait été jugée correcte par M. Painlevé, n'échappait pas à certaines critiques se réduisant à ceci qu'elle faisait appel à l'intuition géométrique ( ' ) ; une démonstration d'un caractère purement arithmétique était désirable.

( ^ ) Evidemment, il n'y a pas deux rigueurs : une démonstration est rigoureuse ou bien elle n'est pas une démonstration. Cependant, dans bien des raisonnements d'Analyse, on emploie le langage géométrique pour abréger; on attribue implicitement aux êtres dont on parle des propriétés que l'intuition nous suggère et qui ne sont démontrées qu'en Géométrie. Ce procédé expose jiaturellement à des erreurs^ et on est en droit d'exiger des démonstrations de toutes les propriétés géométriques invoquées.