X , ML

Si donc L peut être rendu inférieur à tout nombre donné^ il

en est de même de - — ^, et par suite le nombre constant (pour

X fixe)^ '^i[^)y est nul. La fonction '^-^[x) nulle dans une aire est donc nulle dans tout le plan, et l'on a

pour tout point x situé entre C et C^ et par conséquent dans tout le plan. Donc /'(z) est holomorphe en a, puisque '^{z) l'est. D'où la contradiction.

La démonstration^ qui est due à M. Painlevé^ s'applique toutes les fois qu'on peut trouver une aire contenant a telle qu'on puisse enfermer tous les points singuliers qui lui sont intérieurs dans des contours dont la somme des longueurs est infiniment petite. M. Painlevé appelle ensemble ponctuel un ensemble jouissant de

Li:S ENSKMBLKS PARFAITS DISCONTINUS DE SINGULARITÉS. 8l

cette propriété. Mais il est évident que c'est là un cas particulier et qu'il y a des ensembles discontinus qui ne sont pas ponctuels.

Essayons de voir ce qui se passe quand le choix des mêmes contours peut être fait de telle manière que la somme de leurs longueurs soit finie. M. Painlevé. qui a encore étudié ce cas^ dit qu'on a alors un ensemble semi-linéaire. Il a démontré, très simplement on va le voir, que la fonction /(z) ne peut dans ce cas être continue au point a^ c'est-à-dire que a est un point transcendant essentiel.

Reprenons en effet l'égalité (i)^ qui est toujours valable.

Si la fonction /(z) est continue au point a^ on peut supposer C assez voisin de a (en tous ses points) pour que

quel que soit donné le nombre s. Or on a

r fi z ) dz r f(z) — f\a) , .^ r ,lz

la dernière intégrale est égale à zéro^ puisque le contour C, ou ceux qu'on lui substitue^ ne tournent pas autour de x. En désignant toujours par L la longueur du contour C, ou la somme des longueurs des contours substitués dans la suite^ on aura d'autre part

rfiz)—f{a)^ L. z — or

et, puisque L est borné et que £ est arbitraire^ on en conclut comme tout à l'heure que •^■j[x) est nulle pour tout point x entre C et C et par conséquent partout. Donc^y'(a;) et '^[x) sont égales partout, donc /(z) est holomorphe en a.

Il est bien manifeste que cette méthode ne peut conduire à rien si l'hypothèse sur la longueur du contour n'est plus vérifiée^ et d'autre part^ comme cette hypothèse peut manifestement ne pas être vérijiée, nous n'avons pas encore un théorème général.

Il est manifeste aussi que ce n'est pas de méthodes de ce genre que nous pouvons espérer déduire un théorème général^ s'il en existe un.

En y réfléchissant^ on voit qu'on ne peut arriver à un théorème général qu'en revenant à la définition même de la fonction ZoR. 6

CHAPITHK IV

analytique et en étudiant la fonction inverse de la fonction proposée^ qui est une fonction à une infinité de branches. C'est ce que je vais me proposer de faire; mais je vais tout d'abord laisser de côté pour un instant l'ordre historique et étudier un cas particulier simple qui rendra plus accessible la démonstration générale. Soit w = J\z) une fonction uniforme n'ayant pour toutes singularités qu'un ensemble partout discontinu E (la fonction 'l des raisonnements précédents)^ et supposons que cette fonction soit non seulement continue en tout point de E^ mais quelle prenne de plus en tous ces points une même valeur, zéro par exemple. La fonction est supposée régulière à l'infini (nulle^ si l'on veut). Marquons dans le plan w l'ensemble des valeurs prises par la fonction. La fonction w est bornée, car si elle ne l'était pas^ en appliquant le raisonnement ordinaire par décomposition en carrés^ on trouverait un point où elle devient infinie^ un pôle si l'on veut^ ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc^ dans le plan w on obtient un ensemble continu de points à distance finie D^ c'est-à-dire un continuum borné. Considérons la frontière L de ce continuum. Un point w de cette frontière ne peut correspondre à aucun point régulier de la fonction /'(z) [i^oir p. 'jo)^ donc il correspond à un point singulier; comme en de tels points çvest nulle^ la frontière se réduit au point w ^ o et la fonction est identiquement nulle ( ' ). Nous allons essayer, dans le cas général, de nous inspirer de ce qui précède^ et nous allons revenir à la démonstration tentée par M. Painlevé dans ses Leçons de Stockholm.

Pour simplifier la question^, mettons^ en raisonnant comme page 78^, la fonction donnée /(z) sous la forme

C2(z) étant holomorphe dans le contour C à l'intérieur duquell'ensemble singulier de/(:;) est discontinu, et F(z) étant holomorphe hors de C et admettant les seuls points singuliers de/'(z) dans C. Proposons-nous de démontrer que /"(z) approche dans le contour C

f') Un point frontière w correspond certainement à quelque point du plan des z, car il est limite de points intérieurs au domaine D qui correspondent à certains points du plan z, et la fonction /' étant continue, pour tout point limite de ces points z, la fonction prend justement la valeur w.