LES FONCTIONS MULTIFORMES

Je dois logiquement étudier maintenant les points singuliers des fonctions multiformes. Comme nous le verrons dans ce Chapitre^ un certain nombre de recherches sur les fonctions uniformes exigent la démonstration préalable de théorèmes sur les fonctions multiformes^ et inversement. D'ores et déjà, on peut dire que^ si la théorie des fonctions multiformes est d'origine bien récente^ il est peut-être excessif de prétendre qu'elle soit inexistante^ comme le disait M. Boutroux en i()o8. Outre les recherches très générales comme celles des Chapitres précédents ( qui sont bien-, au fond^ des études des fonctions multiformes)^ on voit se constituer différentes directions de recherches : fonctions implicites^ fonctions définies par une équation différentielle^ catégories de fonctions à singularités simples, conduisant à une esquisse de classification.

Je m'occuperai ici uniquement d'une catégorie de fonctions multiformes dont l'étude se rencontre notamment dans l'étude des fonctions entières : ce sont les fonctions inverses de fonctions uniformes. On se rendra compte de leur importance^mirmsèque en songeant que^ d'après le théorème de M. Poincaré, toute fonction multiforme est une fonction uniforme d'une fonction inverse de fonction uniforme. En outre^ de nombreuses recherches introduisent de telles fonctions. Dans les Chapitres précédents ;, il en a déjà été question.

Soit donc w=f{z) une fonction uniforme et soitjz='h{w) la fonction inverse. Une propriété essentielle de cette fonction est la suivante^ due à M. Painlevé :

Si la fonction uniforme /{z) n a pas de coupures, la fonction z{w) na pas de points transcendants essentiels. Ses points singuliers sont des points critiques algébriques et des points transcendants ordinaires.

Soit w^^ un point singulier relatif à une branche z{w) poursuivie le long d'une ligne L. Je dis d'abord que le domaine d'indétermination de la fonction z{w) en ce point ne comprend aucun point régulier. En efîet^ s'il comprenait un point régulier s,,^ en ce point, la fonction w (qui est uniforme) prendrait la valeur w^)y et la branche correspondante de la fonction z admettrait w comme

point régulier ou critique algébrique ( ce dernier cas se présentant

si — = o pour z=z^^). Otj le domaine d'indétermination est

continu. Donc^ puisque la fonction w n'a pas d'ensemble continu de points singuliers, le domaine d'indétermination est réduit à un point.

Comment intervient l'hypothèse que la fonction w(z) est uniforme ? S'il n'en était pas ainsi, le fait que le point z appartient au domaine d'indétermination ne serait pas suffisant pour conclure qu'en ce points il y a effectivement une branche de w{z) qui prend la valeur w^. Le raisonnement serait cependant valable pour une fonction w{z) à un nombre fini de branches.

Vovons ce que donne le raisonnement précédent quand la fonction w(z) présente des coupures. La première partie subsiste entièrement. Le domaine d'indétermination en un point w^, ne se compose que de points singuliers d'un seul tenant^ situés sur une même coupure par conséquent. Ce domaine D ne comprend d'ailleurs aucun point extérieur au domaine d'existence de w{z), puisqu'en un ensemble dense de points de D la fonction iv doit exister. Supposons par exemple que la fonction vv n'ait pas d'autre singularité qu'une ligne L. Si un point ^v,, n'est pas transcendant ordinaire pour z(w)y le domaine D relatif à ce point comprend un arc de L^ et sur cet arc la fonction prend une valeur constante Wq.

Plus exactement, à une aire très petite entourant w, , correspond une aire A attenante à l'arc de coupure h, et Ton peut dans A trouver un chemin régulier pour w{z)y chemin qui tendra vers L, et le long duquel w prend des valeurs toutes voisines de w„. Soit I un point de L: tout chemin tendant vers L (du bon côté, celui où est A) finit par pénétrer dans A et y rester. Donc, quel que soit ce chemin, w tend vers w^. Le point ^ est donc transcendant ordinaire; or, nous avons vu que, au moins si L est coupure isolée, la fonction ne peut prendre la valeur constante «•« en tous ces

LES FONCTIONS MCLTIFOEMES- lOI

points. Donc il ne peut y avoir dans ce cas non plus de point d'indétermination.

Soit Wo un point transcendant ordinaire, auquel correspond le point -, sur L. Il ne faut pas croire naturellement que, quel que soit le chemin suivi pour aboutir à -;,. w y tende vers w^,. U est même parfaitement possible que So soit point essentiel.

Je vais m' arrêter un peu plus longuement sur le cas d'une fonction inverse de fonction entière w^f[z). La fonction z[vip) n'a que des points transcendants ordinaires en chacun desquels elle prend la valeur z^ x. Si, en général, je suppose que «? a un point essentiel isolé z^, en chaque point transcendant de la fonction 2 («?), celle-ci prend la valeur z^,.

Une question intéressante qui se pose immédiatement est la suivante : Que peut-on dire de général sur l'ensemble de ces points transcendants ?

D'abord cet ensemble ne peut renfermer aucun continu. Nous sommes, en effet, dans le cas étudié page 72. Si la fonction z prenait la valeur z^ en tout point d'une ligne, elle se réduirait à une constante.

Je vais tâcher de caractériser les points transcendants et je tâcherai de déduire de là des propriétés de leur ensemble. Je serai obligé de faire à ce sujet quelques remarques sur les seuls résultats qui aient été pubhés à ma connaissance sur ce sujet : une Note de M. Hurwitz ( * ), une de M. Denjoy, et différents articles de M. Boutroux. Je serai obligé de faire quelques résers-es sur certains résultats énoncés par ce dernier.

Les domaines d'' indétermination.

Abandonnant pour quelques instants mon exposé systématiquement anal\-tique, je me vois entraîné à une sorte de digression, dont le lien avec les questions précédentes ne tardera pas à ressortir et qui me paraît devoir jeter sur elles un peu de clarté.

( • ) Comptes rendus, t. 1 tl 1906, p. 877. — Denjot, Comptes rendus^ L 115,

^9^7' P- '^^' — Bomaoxrx, Comptes rendus, t. 14o, 1907, p. 708 et 1046: Leçons sur les équations différentielles (Mémoire des Annales de rÉocde XormMe, 1908).

IO>, CHAPITRK VI.

M. Painlevé semble avoir pensé que sa définition du domaine d'indétermination pouvait être précisée. Telle quelle^ elle nous donne un premier renseignement sur l'allure de la fonction dans un entourage complet du point singulier. Si l'on veut une précision plus grande^ une deuxième approximation^ on pourra avec M. Borel la chercher dans l'étude des types de croissance. On peut aussi se proposer^ pour creuser davantage l'allure de la fonction^ d'étudier la façon dont elle se comporte quand on se rapproche du point singulier d'une façon déterminée. M. Painlevé distingue déjà les chemins qui tournent indéfiniment autour du point^ de ceux qui ne tournent pas. Généralisons de la façon suivante.

Soit L un chemin tendant vers un points ingulier a (et a seul) le long duquel la fonction w(z) est prolongeable jusqu'en a. Traçons un cercle C de centre a et de rayon z ; le chemin L finit par ne plus en sortir; considérons l'ensemble des valeurs prises par w le long du dernier arc de L intérieur à C. Si nous marquons ces valeurs dans le plan w^ et si nous ajoutons à cet ensemble son dérivé^ le résultat sera un continu^ comme on le voit aisément. Quand s tend vers zéro, ce continu tend vers un continu limite E. J'appellerai ce continu le domaine d^ indétermination suivant le chemin L. La suite, par la diversité des cas qui peuvent se présenter, fera comprendre l'intérêt de cette dénomination.

Voici quelques propriétés de ce domaine d'indétermination généralisé. Je dis que, pour une fonction entière par exemple^ il existe des chemins d'indétermination complète, c'est-à-dire tels que le domaine d'indétermination suivant un tel chemin comprend tout le plan.

Soit w =f{z) la fonction entière. Donnons-nous, dans le plan % un ensemble de points dénombrable et partout dense. Supposons (cela n'a rien d'essentiel) qu'aucun des points de cet ensemble ne soit valeur exceptionnelle au sens de M. Picard, en sorte que l'équation /(z) = w„y w„ étant un point de l'ensemble, admet une infinité de racines. A chaque point w„ faisons correspondre une de ces racines choisie de la façon suivante: A w, correspond une quelconque, z,, des racines de l'équation /(s) = pp, ; à «^2 une des racines, z^, de l'équation /(z) = w., de module supérieur à | z, |, et ainsi de suite: si à w„ correspond z,,, à Wr + \ correspond une racine

LES FONCTIONS MULTIFORMES. lo3

de réquation/(z) = «»«+i de module supérieur à \z., \. Rien n'empêche de choisir les z„ de façon que leur module croisse indéfiniment.

Construisons alors le chemin L ainsi : suivons le rayon Osi, jusqu'au cercle de rayon | 3j | ; suivons ce cercle jusqu'au point Zjy puis le rayon 0-j prolongé jusqu'au cercle | z^ |, et ainsi de suite. Nous obtenons une ligne L sans point double tendant vers le point à l'infini et lui seul. Sur ce chemin^ w est indéterminée, car, quelque grand que soit un cercle, la portion du chemin L extérieure à ce cercle passe par des points où w prend des valeurs voisines de toute valeur donnée.

En modifiant légèrement la démonstration, on parvient à l'énoncé plus général suivant : Si en un point j^o ^ domaine (Tindéterminaiion est D, il ejriste des chemins le long desquels le domaine d'indétermination est également D. On prendra encore un ensemble w,, dense dans D. Dans un cercle i de centre -„^ la branche w{z) qu'on considère peut ne pas prendre la valeur w^, mais elle prend des valeurs différant de w, en valeur absolue de moins de r,,. Marquons un des points z, z,, où il en est ainsi. Traçons un cercle de centre z© passant par z,. Dans ce cercle, la branche w prend, sinon la valeur SV.2, du moins des valeurs qui en diffèrent en module de moins de Tj^, et ainsi de suite. Traçons tour à tour les chemins qui permettent de parvenir aux points z,, Zj, . . ., avec les valeurs voulues. La réunion de ces chemins donne un chemin total qui tend vers Zq seul et où le domaine d'indétermination est D

pourvu que les r. tendent vers zéro avec — •

Mais il est plus intéressant encore d'étudier, pour un point d'indétermination complète par exemple, les chemins où la fonction est déterminée. C'est ce que je vais faire très brièvement.

Je fais d'abord une remarque au sujet de la Note de M. Hurwitz. Il dit que, d'après le théorème de Weierstrass, on pourrait croire à l'existence de chemins sur lesquels une fonction entière (par exemple) tend vers une valeur donnée d'avance; il voit très bien qu'il n'en est rien, mais la raison qu'il en donne n'est pas la bonne : ce serait, d'après lui, parce que le chemin qu'on fait suivre à la variable z ne tend pas vers le seul point à l'infini. Il est facile de se rendre compte que ce ne serait pas là un obstacle. Soient «»o la valeur donnée, fv,, w», . . ., w„, ... un ensemble de points ten-

lO) CFlAPITRi!: VI.

dant vers w,,. Marquons dans le plan z des points z,, z^, . . ., tels qu'on ait Wn^ f{z,i) et de modules croissant indéfiniment. Joignons-les par droites et arcs de cercle comme tout à l'heure^ ou encore en ligne droite. Nous obtenons bien un chemin qui tend uniquement vers le point à l'infini. Doit-on dire que sur ce chemin w tend vers Wo ? Non évidemment : en introduisant notre façon de parler^ en voit que le domaine d'indétermination suivant ce chemin comprend le point w^^ mais il ne se réduit pas à ce seul point : là est la vraie cause du fait signalé par M. Hurwitz.

Faisons encore une remarque. Soient deux chemins L^ L' tendant vers l'infini et le long desquels w tend vers deux valeurs différentes a, h. Ces chemins peuvent se couper^ mais leurs points de rencontre ne peuvent avoir pour point limite le point à l'infini^ car sans cela il y aurait sur L une infinité de points^ s'éloignant à l'infini où w est infiniment voisin de 6; donc^ sur \^,w ne tendrait pas vers a. Comme d'autre part^ on peut^ sans changer la valeur limite de w, déformer L dans toute portion à distance finie, on pourra toujours supposer que L et L' n'ont aucun point commun.

Chaque chemin L où la fonction tend vers une limite^ peut servir à construire une aire telle que, pour tous les chemins intérieurs à cette aire et s'éloignant à l'infini^, la limite existe et soit la même. En efîet^ soit a la valeur limite sur L. Considérons l'ensemble des points du plan où |w — a| << s, : ces points forment des aires dont l'une doit comprendre tout un arc infini de L; soit D, cette aire. Donnons à ly une nouvelle valeur s^ plus petite; nous aurons une aire Do intérieure à la première^ et ainsi de suite, en faisant tendre les s vers zéro. Constituons alors une aire D de la façon suivante : prenons un point intérieur à D^, traçons un cercle de centre 0 passant par ce point, et ne conservons que la portion de D, intérieure à ce cercle; de même, ne conservons que la portion de T>> intérieure à un cercle qui pénètre à l'intérieur de D,,, et ainsi de suite. L'aire D formée par la réunion des parties conservées jouit de la propriété voulue. C'est la propriété qui sert pour M. Boutroux de définition à ce qu'il appelle une langue; mais, si on ne la précise pas comme je viens de le faire, des difficultés se présentent. Je n'y insiste pas davantage pour l'instant, et je reviens à l'étude de la fonction inverse.

LES FONCTIONS MLLTIFOBMES. Io5

Les fonctions inverses de fonctions entières.

Soit une fonction entière (ou méromorphe) ^ = f(z) et soit Wq une valeur exceptionnelle de cette fonction au sens primitif de M. Picard^ c'est-à-dire supposons que l'équation çVo^=/(z) n'ait pas de racines. Traçons dans le plan w un petit cercle C de centre w^) et prolongeons dans ce cercle toutes les branches de la fonction z(w). Nous obtenons ainsi dans le plan z une infinité (dénombrable) d'aires. Je dis que toutes ces aires contiennent le point à l'infini (point frontière) et par conséquent forment un seul continu (').

Soit en effet D une de ces aires. Je dis que^ lorsque le cercle C varie d'une façon continue^ il en est de même de D. Je veux dire par là que^ si C tend vers un cercle C,^ l'ensemble limite de D est l'une des aires qui correspondent à C,^ soit D,. En effet, d'abord un point z de l'ensemble limite de D fait prendre à w une valeur qui est voisine de points de C, qui par conséquent est dans C,, et inversement, puisque les cercles C^ C, ont une partie commune, il y a au moins une aire D, correspondant à G, qui a des points dans D, et un point quelconque de cette aire D| fait prendre à z une valeur située dans C| (à son intérieur même si l'on veut) et qui^ par suite, est située dans C.

En d'autres termes^ quand C diminue^ chaque aire D diminue^ peut même se décomposer en plusieurs^ mais non disparaître brusquement; si D n'allait pas à l'infini^ il en résulterait que^ lorsque le rayon de C tend vers zéro^ il y aurait des points ;: limites de D où «^ prend la valeur Woy ce qui est absurde. Donc tous les domaines D sont des aires ayant l'infini pour point frontière et se réduisant à ce seul point quand C tend vers zéro.

Si Wq est telle que l'équation w,, = f{z) ait un nombre fini de racines^ à un cercle C entourant w^^ correspondent un nombre fini d'aires D entourant ces racines et une infinité d'aires qui s'étendent à l'infini: en effet, au voisinage du point à l'infini, la fonction w doit

(^) Je rappelle que, pour moi, un continu n'est pas forcément borné. J'appelle continu tout ensemble qui serait continu au sens de Cantor si l'on transformait le plan par homographie, ou en sphère par une inversion.

Io6 CHAPITRE VI.

prendre sinon la valeur Wi^, du moins des valeurs infiniment voisines.

Enfin^ si l'équation w,, = f{z) a moins de racines que l'équation w = f{z) pour les valeurs générales de w ( ' )^ l'une des aires D doit encore comprendre le point à l'infini ; on le voit aussi aisément.

Cette propriété des valeurs exceptionnelles (généralisées) est, comme nous allons le voir^ à peu près caractéristique des points singuliers transcendants de la fonction z{w) (2). Le raisonnement que je vais faire sera, bien entendu^ absolument général, et il en résultera un lien entre les valeurs exceptionnelles et les points singuliers^ qui n'exige aucune hypothèse sur le genre de la fonction w. Le fait qu'à C correspond dans le plan des z notamment une aire qui s'étend à l'infini montre que^ lorsque w tend vers Wi)y il y a des branches de la fonction z{w) qui tendent vers des racines de l'équation

tandis que d'autres s'évanouissent en devenant infinies : chacun de ces deux ensembles de valeurs est d'ailleurs infini en général, et l'équation w^^=^f[z) peut encore être appelée équation exceptionnelle sans qu'il faille attribuer à ces mots un sens aussi précis que celui défini dans la note précédente.

Je me propose donc d'établir le théorème suivant : Une condition nécessaire pour que w„ 501^ point transcendant de z{w) est que, parmi les aires qui, dans le plan z, correspondent à un cercle de centre Wo^, Vune au moins comprenne le point à V infini (^),

La condition est nécessaire, car^ si Wq est transcendant^ c'est qu'il existe un chemin L tendant vers w„ et [w^ seul) le long duquel

(^) Tout en en ayant une infinité. Foir Remoundos, .4 /ina/es de Toulouse,

t. XIX. Le quotient du nombre de racines de ces équations dans un cercle de

rayon R est infiniment petit avec — •

(2) Il est maintenant facile de comprendre ce que j'ai dit plus haut des rapports du théorème de M. Picard avec les singularités de la fonction inverse.

['^] Naturellement comme frontière, car si le point singulier était intérieur à cette aire, la fonction w tendrait uniformément vers «^0 quand z tendrait vers le point singulier; celui-ci serait transcendant ordinaire.