LES FONCTIONS MULTIFORMES. IO

une branche z n'est pas régulière. Le chemin A correspondant dans le plan des z ne peut définir un domaine d'indétermination continu^ car^ en tout point de ce continu, la fonction w serait constante; ce domaine ne peut non plus se réduire à un point régulier, car çvq serait régulier ou critique algébrique pour la branche en question. Donc ce domaine se réduit au point essentiel à rinfini, c'est-à-dire que A tend vers l'infini (et l'infini seul). Comme L finit par être intérieur au cercle C, cela nous donne une aire D qui comprend tout un arc de A jusqu'à l'infini. Donc D comprend le point à l'infini.

Demandons-nous maintenant si la réciproque est vraie. Supposons que C donne des aires dont l'une comprenne le point à l'infini, soit D : nous avons au voisinage de l'infini un ensemble continu de points que j'appelle D, où w prend des valeurs situées dansC. Mais, étant donnés deux points de D, il peut être impossible de les joindre sans aller à l'infini. Prenons un point z de D et considérons le domaine d, portion de D, qu'on peut atteindre sans sortir de D à partir de z et sans passer par l'infini. Quand z décrit ce domaine d, w décrit tout ou partie de C; d'ailleurs^ je dis que w décrit tout C, car sans cela on verrait sans peine qu'il y aurait dans C toute une aire de points qu'on ne pourrait atteindre régulièrement en partant d'une branche déterminée de z[w). Il y aurait donc une coupure pour cette fonction, ce qui est impossible, car nous sommes dans un cas où le théorème de la page 72 s'applique.

Supposons que le point «'0 ne soit ni limite de points transcendants, ni limite de points critiques algébriques. Alors je dis qu'il est effectivement transcendant (isolé) lui-même. En effet, on peut dans ce cas tracer un cercle C de centre Wo à l'intérieur duquel toutes les branches de z[w) sont régulières sauf peut-être au point Wq. Supposons que ce point soit régulier pour toutes ces branches. Alors elles seront toutes uniformes dans ce cercle. Considérons en particulier la branche z qui, dans le plan w, donne naissance à l'aire d. D'après une remarque déjà utilisée [^oir p. 70), quand w décrit la frontière de C, z doit décrire la frontière de d, ce qui est absurde puisque cette frontière passe par le point à l'infini, point essentiel. Il faut donc bien supposer que Wo est point singulier pour une branche au moins.

Io8 CHAPITRE VI.

Le même raisonnement montre que l'on ne peut pas supposer Wq critique algébrique. La branche z qui donne naissance à d serait algébroïde dans C (quand z décrit d, w décrit d n fois) mais les frontières de c^ et de C continueraient à se correspondre^ et^ comme lorsque w décrit celle de C^ z ne décrit celle de d qu'un nombre fini de fois, il faudrait qu'un point déterminé de la circonférence de C donne pour z une valeur infinie, ce qui est impossible.

Donc Wq est un point transcendant.

Voyons dans quelle mesure le raisonnement peut se conserver lorsque Wo est limite de points singuliers. Quand on substitue à C un cercle intérieur C,;, on obtient un nouveau domaine D, allant à l'infini et dont certaines portions^ d^, sont intérieures à d (j'appelle toujours portion d^ un domaine qu'on peut atteindre sans sortir de D^ et sans aller à l'infini). Comment se fait-il que l'aire d puisse ainsi se scinder en plusieurs (même une infinité) d^ ? Considérons la branche z{w) ç\n\, poursuivie dans C^ donne naissance à d. Cette branche se permute avec d'autres soit autour de w^, soit autour des points singuliers situés dans C^ et l'on ne peut séparer ces diverses branches. Mais il peut arriver que deux branches de z[w) prises dans C, qui relevaient de la même branche z, parce qu'elles se permutaient entre elles dans C^ ne se permutent plus dans C<, et par suite deviennent distinctes : cela arrivera quand les points critiques qui permutaient ces deux branches sont entre C etC, (^).

On peut préciser encore. Supposons qu'on puisse trouver une infinité de cercles Cn tendant vers w„ et que parmi les aires d^ intérieures à d, les aires ^2 intérieures à l'ensemble des d^, ..., on puisse choisir une suite d'aires d, d^, d^, ..., chacune intérieure à la précédente et comprenant toutes le point à l'infini. Alors je dis que w,, est un point transcendant. En efîet^ on tracera un chemin / défini ainsi : joignons un point de c^ à un point de d^ par un chemin situé dans d\ le point précédent de d^ à un point de d.j, par un chemin situé dans d^, ainsi de suite^ cela de façon que l tende vers l'infini et l'infini seul^ ce qui est manifestement possible. Sur ce chemin^ w est régulière et tend vers w„ et fv„ seul,

( ^ ) Cela arrivera même hrusquemenf quand C, en diminuant, passera par un certain point critique (algébrique ou transcendant).