MAITRE DE CONFÉRENCES A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE GRENOBLE

PARIS, (JAUTHIEK-VILLAKS, IMPKDJELR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55.

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1f| PRKFACK.

M. Borel a bien voulu me demander de publier, dans sa Collection de Monographies sur la théorie des fonctions^ les leçons que j'ai eu Fhonneur de faire au Collège de France pendant Tannée scolaire 1908-1909 (fondation Peccot). Ce sont ces leçons que j'ai réunies dans le présent Livre. Comme c'est Tusage dans la Collection, je les ai rédigées en supposant au lecteur le minimum de connaissances, et en allant dans chaque question aussi loin que le permet l'état actuel de la théorie. On ne s'étonnera donc pas de trouver à plusieurs reprises des questions amorcées et non traitées à fond. C'est justement le but de cette Collection de fournir aux chercheurs un guide, en les mettant rapidement au courant de l'état d'une question, en précisant la nature des difficultés qui ont jusqu'ici empêché d'aller plus loin, et en leur indiquant en même temps, sans prétendre faire une bibliographie complète, les premiers Ouvrages qu'ils auront à consulter.

J'ai voulu étudier dans ses dernières conséquences la belle définition de Weierstrass de la fonction analytique. Systématiquement, méthodes et résultats n'empruntent rien aux points de vue de Cauchy et de Riemann. On verra comment on peut, en creusant simplement la définition du prolongement analytique, soit parvenir à des théorèmes importants par leur généralité, soit éclairer d'un jour nouveau des résultats anciens, comme par exemple le théorème de M. Picard. On verra aussi combien nombreuses et intéressantes sont les