SUR LA NOTION DE COUPURE

Je ne crois pas inutile d'éclaircir par quelques exemples ce que j'ai dit page 5- au sujet des coupures des fonctions multiformes.

Voici d'abord un exemple très simple que me suggère M. Bore et qui montre la condensation des points singuliers aux environs

d'une ligne. Considérons le cercle de rayon i H — (/; entier) ayant

pour centre l'origine (plan des z): divisons-le en p parties égales au moyen de /' points (dont l'un sera sur l'axe réel^ si l'on veut). On obtient ainsi^ quand p prend toutes les valeurs entières^ un ensemble dénombrable de points que j'appelle a„. Considérons la fonction

les A,i formant une série absolument convergente. L'expression (i) définit^ comme on le voit aisément^ à l'extérieur du cercle de rayon i^ une fonction analytique [la série (i) est uniformément convergente dans toute aire qui ne contient aucune cin à son intérieur ou sur sa frontière] ; cela est vrai quelles que soient les déterminations choisies pour les radicaux; enfin, si l'on considère deux déterminations de la fonction en un point z^ ce sont, cela est presque évident, deux branches d'une même fonction analytique que j'appelle /{z).

Le cercle de rayon i est une coupure pour la fonction, car tout chemin régulier, /, aboutissant à un point du cercle donne un rayon d'holom orphie infiniment petit quelle que soit la branche poursuivie. C'est là une coupure pour une branche (il n'y a qu'à

NOTE SLR LA NOTION DE COUPURE. Il3

prendre pour chemins A (page 55) des cercles intercalés entre ceux qui portent les pôles critiques).

Pourtant, entre un chemin A et le suivant^ des points critiques se sont rencontrés qui semblent modifier la branche. Il peut donc sembler que l'expression coupure pour une branche soit mal choisie. Mais il faut remarquer que la branche dont on parle est celle qu'on prolonge sur l.

Voici un exemple de ligne singulière non coupure pour une branche. Formons d'abord^ comme à la page 34^ une fonction l;{u) qu'on peut supposer bornée dans toute aire fmie, ayant deux branches (ou une infinité) au-dessus de l'axe réel^ uniforme audessous. L'échange des branches se fait autour d'un point critique A^ d'ordonnée a, situé sur la partie positive de l'axe complexe. Considérons ensuite une droite D,,^ parallèle à l'axe réel^ d'ordonnée -j et un point A„ sur l'axe complexe, d'ordonnée - ( — \ ! — ) •

^ ^ ^ ^ in II — 1/

Considérons la fonction

fn{z) ^ g\m{n—i)a(z — j^^ •

On peut déterminer les nombres a» de façon que la série

converge quelles que soient les déterminations choisies pour les fii{~'), tout au moins dans une aire ne renfermant aucun des points A,^. Pour la fonction analytique J\z) ainsi définie^ l'axe réel est une ligne singulière. Ce n'est pas une coupure pour une branche. En efîet^ on ne peut pas trouver un chemin tendant vers un point de l'axe réel (et un seul) le long duquel la fonction /"( 3) soit régulière^ car^ si sur ce chemin toutes les fonctions f,i sont régulières^ la fonction /(r) admet un rayon d'holomorphie au moins égal à Técart de l'ensemble des A,/ au chemin suivi; pour la branche considérée^ l'axe réel est alors régulier.

En multipliant f[z-) par une fonction uniforme ayant Taxe réel pour coupure et définie au-dessus de celui-ci^ le domaine d'existence de la nouvelle fonction est borné et le fait signalé subsiste.

ll| NOTE SUR LA NOTION DE COUPURE.

On peut, dans l'exemple précédent^ substituer aux droites D,i un ensemble dénombrable de droites parallèles, et l'on aura autant de droites non coupures pour une branche que l'ensemble D,, aura de droites limites.

Dans ces exemples^ quoique la coupure étudiée ne soit pas une coupure pour une branche^ les droites D,/ en sont. Je signale l'intérêt qu'il y aurait à former un exemple aussi simple que possible où il n'y aurait aucune ligne coupure pour une branche^ avec un domaine d'existence borné. On mettrait ainsi bien en évidence la façon dont ce fait singulier peut se produire.