LES FONCTIONS MULTIFORMES. IO

car le chemin décrit par w doit rester dans le cercle C^ à partir d'un certain point, quel que soit n. Ov, on sait que cela suffît pour que pp„ soit transcendant.

Examinons dans quel cas w^^, tout en étant limite de points singuliers^ pourra ne pas être transcendant. Supposons-le régulier pour toutes les branches de z (w)\ le raisonnement est à peu près le même s'il est critique algébrique. Alors chacune des branches z[wq), soient s, («^o) ... z,/(f^„)^ est régulière dans un cercle C„ de

centre w^^, mais le rayon de C,, tend vers zéro avec - ou du moins

admet zéro pour limite inférieure. Soient deux branches z, et z-;,, holomorphes dans les cercles C, et Co ; supposons C, intérieur à Co. Quand w décrit le plus petit cercle C,, les deux branches Zi et, z.j, décrivent des aires sans point commun qui ne vont pas à l'infini^ puisque ces branches sont régulières dans ce cercle. Quand w décrit Co^ on ne sait plus si z^ est régulière^ et^ si w décrit un cercle légèrement supérieur à C^, il peut arriver que z^ et Zo qui ne sont plus régulières se permutent entre elles. Les deux aires dans le plan z se trouveront réunies en une seule, et on ne sait plus si cette aire unique ne va pas à l'infini. Peut-être peut-on parvenir à un résultat simple pour un point fv„ qui n'est limite que de points critiques algébriques : il ne serait pas étonnant que ce point soit toujours transcendant pour une branche au moins. La chose est beaucoup plus douteuse pour un point limite de points transcendants. En efîet^ pour un tel point^ il est évident qu'à tout cercle C qui l'entoure correspond une aire dans le plan des z qui s'étend à l'infini; mais on voit bien pourquoi il en est ainsi : c'est parce que les points transcendants qui sont voisins du point donné donnent des valeurs très grandes de z, et c'est parce qu'on voit bien c omment les choses peuvent se passer qu'il ne semble pas du tout indispensable que le point donné soit lui-même transcendant pour une branche.

Les remarques précédentes^, qui paraîtront peut-être un peu longues^ permettent donc de caractériser à la fois : les points transcendants^ les points limites de points critiques algébriques, les points limites de points transcendants. Pour tous ces points, quand w décrit le cercle C, z décrit des aires qui vont à l'infini.

On peut cependant différencier le premier cas des deux autres

de la façon suivante. Quand on a un point fVo transcendant isoléy l'aire D est formée d'un certain nombre (infini) d'aires d. Quand C diminue, le nombre de ces aires n'augmente et ne diminue pas : chaque aire d donne naissance à une aire d^. En efîet, pour que d se décompose en deux ou davantage^ il faut que deux branches permutables dans C ne le soient plus dans C,. Or, si w,, est transcendant isolé, l'échange de deux branches ne se fait qu'autour de w,, luimême, et par suite se fait dans C, dès qu'il est possible dans C. Au contraire, dans les autres cas où çv„ est limite de points singuliers, le nombre des aires d est variable.

Les résultats de M. Boutroux.

D'après ce qui précède, que savons-nous, en somme, sur l'ensemble des points transcendants ? D'après le théorème de la page 72, cet ensemble ne peut comprendre aucun continu. Est-ce un ensemble fermé? Je n'ai justement développé longuement les explications précédentes que pour bien pénétrer le lecteur de ce fait qu'il est nullement établi que l'ensemble des points transcendants soit fermé.

C'est pourquoi l'on ne peut considérer comme démontrés d'une façon absolument générale les résultats énoncés par M. Boutroux dans son Mémoire Sur les fonctions inverses de fonctions entières. Ces résultats ne sont valables, et même pas tous ( ' ), que lorsque l'ensemble des points transcendants est formé uniquement de points isolés, c'est-à-dire d'un nombre fini de points : cette hypothèse intervient en effet plusieurs fois dans les démonstrations; ce cas se présente vraisemblablement pour les fonctions de genre fini, d'après un théorème de M. Denjoy qui n'est même, je crois, donné par son auteur que comme vraisemblable, mais qui est encore à démontrer. Mais, dès qu'il y a un point limite de points transcen-

(') En effet, comme je l'ai dit plus haut, on est en droit de demander plus de rigueur dans certaines démonstrations. Il y aurait lieu surtout de préciser la définition des langues contiguës et des frontières d'une langue, comme je l'ai fait à la page io4 pour la définition même de la langue. C'est ce qui explique les réserves du texte.

Li:S FONCTIONS MULTIFORMES.

dants, transcendant lui-même^ les choses sont beaucoup plus compliquées.

On ne saurait nier que la question qui présente le plus d'intérêt et qui doit être élucidée la première ne soit relative au nombre des points transcendants. Il est tout à fait vraisemblable que leur ensemble est dénombrable ( ' ). En tous cas^ si l'on veut aboutir à un résultat absolument général, il n'est pas douteux qu'on devra procéder par une méthode directe analogue à celles suivies dans ce Livre.

L'étude d'une fonction entière suivant un chemin infini rendra aussi des services dans la même question. Cette étude paraît devoir devenir prépondérante dans la théorie des fonctions entières : elle réalise en quelque sorte une troisième approximation, la première étant fournie par le théorème de Weierstrass^ la seconde par le théorème de M. Picard et ses généralisations. Elle n'est pas encore susceptible d'un exposé systématique. Tout se borne pour l'instant à des résultats très intéressants, mais quelque peu épars.

Au premier rang^ je signale l'exemple donné par AL Lindelof (-) d'une fonction entière qui tend vers zéro quand la variable s'en va à l'infini sur une droite quelconque (sauf l'axe réel et positif) et ceux donnés par MM Mittag-Lefïler et Malmquist. Naturellement^ ces fonctions ne tendent pas uniformément vers zéro^ et^ quand une ligne L s'éloigne à l'infini en coupant une infinité de droites qui passent par l'origine^ la fonction peut sur L tendre vers une limite quelconque non nulle ou être indéterminée.

Signalons encore les résultats déjà assez généraux de MM. Phragmen et LindeLif ( '). Je n'entre à ce sujet dans aucun détail^ me bornant à constater que le moment de tenter une étude d'ensemble paraît être venu.

( ' ) Ce résultat est énoncé dans une Note de M. Boutroux (26 juillet 1909). Mais la démonstration est inexacte, comme on s'en rendra compte en lisant le dernier paragraphe du Chapitre IV.

(■-) Bulletin des Sciences mathématiques, igoS.

( ■' ) Acta, t. XXVIII et XXXI.

Antibes, 25 septembre 1909.