CHAPITRE I. — LIÎS KNSEMHLKS DE POINTS

continu et que ses points soient limites pour tous les nouveaux E,/. J'ai traité la question dans une Note (') et j'ai montré que le choix précédent est toujours possible dès qu'il existe un point a limite pour tous les Kn.

Je me borne à le montrer dans le cas particulier très simple où l'ensemble limite E (qui est continu) est ce que j'appelle un continu irréductible entre deux points a et by c'est-à-dire un ensemble tel qu'on ne puisse pas en extraire une portion continue contenant a et b. Prenons en effet ceux des ensembles E.^ qui ont 6 pour limite; il est facile de les déterminer (et même d'une infinité de façons). Leur ensemble limite sera un continu contenant a et -j^ c'est-à-dire sera E lui-même. De plus, tout point de E est limite pour tous les nouveaux K,/, car^ si l'on pouvait trouver une infinité de valeurs de n indéfiniment croissantes telles que les E/, correspondants s'écartent du point c^ ces E// auraient un ensemble limite continu ne contenant pas c et contenant a et b. Il y aurait donc une portion de E continue contenant a et b, ce qui est contraire à l'hypothèse (-).

(') Jhillelin de La Société niathénialiqtie, 1909.

( - ) Le lecteur que la théorie des ensembles intéresse pourra se mettre au courant des différents résultats qui la constituent en lisant les Leçons sur la théorie des jonctions, de M. E. Borel, les deux Berichte de M. A. Schœnflies, l'article de MM, Schœnflies et Baire de l'Encyclopédie J. Molk et l'article de L. Zoretti de la même Encyclopédie, première Partie de l'article original intitulé : Recherches contemporaines sur la théorie des fonctions de i'ariables réelles, ainsi que l'article Sur la notion de ligne, du même auteur, dans la même Encyclopédie.