A NOTION DE FONCTION ANALYTIOUK

La notion de prolongement analytique est aujourd'hui bien classique; aussi vais-je la reprendre d'une façon très rapide. Considérons une série de Taylor

convergente dans le cercle C

cette série définit dans ce cercle une fonction de z qui est continue et admet une dérivée. Nous dirons que c'est un élément de fonction analytique, et cette fonction pourrait être définie en dehors du cercle de convergence de la série (i) d'une infinité de façons; on pourrait;, par exemple^ convenir que la fonction qui dans le cercle est égale à la somme de la série ( i ) est nulle à l'extérieur du cercle. Mais^ parmi cette infinité de façons^ nous allons, avec Weierstrass^ choisir la suivante.

Considérons une seconde série de Taylor

(•2) ^i^ — h) = ^o~ ^i( - — ^) -f- ùiiz — by-^.. .,

convergente dans un cercle C

Supposons que les deux cercles C, C aient une partie commune et que^ dans cette partie, les deux séries aient constamment la même somme. Nous dirons que la seconde série est le prolongement analytique de la première.

Il est clair que ces conditions ne sont pas très restrictives et peuvent être vérifiées. Si l'on prend par exemple un point b

3o CHAPITRE H.

intérieur à C^ la fonction qui dans le cercle C est représentée par P(z — a) est développable dans un certain cercle de centre h suivant une série de puissances de z — h. Si le nouveau cercle de convergence n'est pas entièrement intérieur au premier (ce qui est le cas général)^ nous avons un exemple où les conditions précédentes sont réalisées.

Considérons donc une suite dénombrable de nombres complexes a,)^ «1; ..., a,i, ... tels, que la série (i) ait un rayon de convergence non nul; formons. tous les prolongements analytiques de cette série, puis les prolongements analytiques des nouvelles séries. Chacune des séries de Taylor obtenues constitue un élément de fonction analytique, et la fonction analytique tout entière est constituée par l'ensemble de tous ces éléments.

On devine ce que pourra signifier l'expression : prolonger la fonction suivant un chemin déterminé.

Cette définition, surtout ainsi présentée, paraît extrêmement compliquée, et il semble difficile d'en tirer parti pour la démonstration de propriétés générales. Cependant, à la réflexion, on se trouve conduit à se poser certaines questions dont la solution ne paraît pas inabordable, et projettera une certaine clarté sur la définition. La première est certainement la suivante : une série de Taylor a évidemment une infinité non dénombrable de prolongements analytiques; d'autre part, il en est qui sont inutiles pour la définition de la fonction : tous ceux par exemple qui ne permettent pas de sortir du cercle initial peuvent être remplacés par un seul, savoir l'élément donné; nous devrons donc nous demander quel est le nombre minimum d'éléments qu'il suffit de considérer pour représenter toute la fonction. La réponse est fournie par le théorème de MM. Poincaré et Volterra ( ' ) : il suffit de considérer une infinité dénombrable d'éléments pour avoir la valeur de la fonction en tous les points que le prolongement analytique permet d'atteindre. L'ensemble de tous ces points constitue le domaine d'existence de la fonction.

Arrivons maintenant à la définition des points singuliers de la. fonction. Considérons un élément quelconque de la fonction, F [z — a)

( ' ) Bendiconii di Palermo, t. II, 1888. T 'oi>, pour la démonstration, E.Bokel, Leçons sur la théorie des fonctions.

LA .NOTION DE FONCTION ANALVTIQI K. 3l

convergent dans le ceicle C (et pas dans un cercle plus grand). Prenons un point quelconque b sur la circonférence de C; ou bien il existe une série ordonnée suivant les puissances de z — bj prolongement analytique de la première^ ou bien il n'en existe aucune; dans le second cas, le point b est un point singulier.

Il est facile de voir que sur le cercle C il y a au moins un point singulier. En elîet, dans l'hypothèse contraire, la limite inférieure des rayons de convergence sur la circonférence ne pourrait pas être nulle, et l'on en déduirait que l'élément initial converge dans un cercle de rayon supérieur à celui de C, ce qu'on ne supposait pas.

Si l'on opère pour tous les éléments de la fonction analytique comme il vient d'être indiqué, si l'on ajoute aux points singuliers ainsi obtenus l'ensemble des points qu'on ne peut atteindre par prolongement analytique qui sont aussi des points singuliers, on obtient l'ensemble singulier de la fonction.

La définition précédente des points singuliers n'est pas celle qu'on utilise d'ordinaire dans les raisonnements; elle est, de plus, assez vague, et la première des choses que nous allons faire consiste justement à donner de ces points une définition plus précise. Mais il ne faudrait pas croire que ce soit là chose très simple, et, pour bien mettre en évidence les difficultés quj se présentent, nous allons être obligés de faire un certain nombre de remarques générales sur la définition des fonctions analytiques. Il est bien entendu que proA^soirement nous appellerons points singuliers les points définis ci-dessus, et on ne va pas tarder à s'apercevoir que la définition précédente qui pouvait a priori sembler acceptable est tout à fait insuffisante et incomplète.

Toute la difficulté de la théorie générale des fonctions analytiques résulte de la propriété que je vais déduire des remarques fondamentales suivantes.

Soit b un point régulier de la fonction. On pourra en général l'atteindre en partant de a d'une infinité de façons en partant d'un même élément. Il n'y a aucune raison pour que la valeur de la fonction au point d'arrivée soit toujours la même quel que soit le chemin suivi. Voici une autre façon de se rendre compte du même fait. Supposons deux éléments de la fonction convergents dans deux cercles qui ont une partie commune ; ces deux éléments dérivent d'un même élément soit directement, soit par l'intermédiaire de deux files de cercles. Il n'y a aucune raison pour que ces

éléments se prolongent^ c'est-à-dire pour que les deux séries aient la même valeur dans la partie commune aux deux cercles. D'où deux grandes classes de fonctions analytiques.

Ou bien la valeur de la fonction en chacun des points de son domaine d'existence sera toujours la même quel que soit le chemin suivi pour atteindre ce point; en d'autres termes, la fonction n'aura qu'une valeur en chaque point; on dira qu'elle est uniforme. Ou bien il existe au moins un point pour lequel la fonction n'a pas la même valeur suivant le chemin qui aboutit en ce point; elle est multiforme. Ce dernier cas se subdivise encore en deux : ou bien le nombre des valeurs de la fonction en chaque point est hornéj ou bien il ne l'est pas.

C'est ce dernier cas qui est le plus général. En chaque point une fonction admet en général une infinité de branches (cette infinité est dénombrable, car chaque valeur exige un élément de fonction et une infinité dénombrable d'éléments suffit à représenter la fonction). Au contraire, le cas de la fonction uniforme est très particulier; mais on devine que c'est aussi le plus important en pratique^ parce qu'il permet d'obtenir un plus grand nombre de propriétés.

C'est surtout par la distinction des points singuliers dans les deux cas que se manifeste la différence entre les fonctions uniformes et multiformes. Considérons un point a régulier pour une fonction multiforme /(z); prolongeons analytiquement /(:;) le long d'un chemin quelconque partant de a et y revenant. Il peut très bien arriver que le point a soit singulier pour l'une des branches de fonction obtenue, c'est-à-dire que le prolongement analytique effectué le long d'une certaine courbe permette d'atteindre le point a, mais pas de le dépasser; en d'autres termes^ a sera singulier pour certaines branches et pas pour d'autres. Il ne faudrait pas croire^ bien entendu^ que ce soit là un fait accidentel; il faut au contraire le considérer comme se produisant d'une façon générale pour une fonction multiforme prise au hasard. La simplicité de l'exemple suivant le montre bien.

Considérons la fonction

jK=loglogs.

Les points singuliers sont s = o^ s = x et la valeur de z pour lesquelles logz est nul, c'est-à-dire js = i . Donnons à ;: une valeur 2o ;