COS V

En appliquant à l'équation qui précède les raisonnemens par lesquels nous avons, dans la 7.^ leçon, déduit la formule (25) de la formule (24),

DU CALCUL INFINITÉSL\L\L. 279

et désignant par A^ un accroissement fini attribué à la variable i, on trouvera

cos y

D'ailleurs, y, étant l'angle formé par la tangente à l'hciice avec l'axe Jes 7 , du ^- représente évidemment la portion de la tanirente qui a

^ cos 7 ^ 1 Ml

pour projection sur cet axe la longueur ztA^. On peut donc énoncer la proposition suivante : i

1 .^^ Théorème. Pour obtenir un tire d'hélice compris entre deu?c-'pôïitU. [■"i , y , l) et ( a'-hA.v , /Aj, 2^-^3)> il suffit de mener par le premief une i.jngenie à l'hélice et de chercher la portion de cette tangente qui se trouve renfermée entre les plans menés perpendiculairement à l'axe de l'hélice par les deux extrémités de l'arc.

Si , pour fixer les idées, on compte l'arc s à partir du point où l'hélice rencontre l'axe des .v, et si l'on suppose la quantité s positive en même temps que l'angle p et l'ordonnée j, alors, en substituant aux points [x, y, i), (.v-f-A.v, ^'-hAk, ^-f-A^), les deux extrémités de l'arc .f, savoir, le point où l'hélice rencontre l'axe des x , et le point (.v, y, i) , on obtiendra, au lieu de l'équation [^), la formule

cos y

que les équations (38) et (4o) de la 13.^ leçon réduiront à

(10) s rzz (i-t-^')^ Rp.

Il résulte de cette dernière que, pour évaluer l'arc s, il suffit de midtipiier la projection de cet arc sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélice, c'est-à-dire, le produit Rp par le facteur constant (i-t-;/)^- Considérons maintenant deux courbes quelconques. Soient .v, y, ^

2 8o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

les coordonnées de la première courbe , et s l'arc de cette courbe compris entre un point fixe et le point mobile {x , y , z). Soient de même ^, >i, r les coordonnées de la seconde courbe et ^ l'arc de cette seconde courbe compris entre un point fixe et le point mobile (^, r, ^). On trouvera

(il) ds"- zizdx^- -^-dj- -^di\ dç,^ = d^' -^ drt^ -^ dll^\

De plus , si les tangentes menées à la première courbe par le point [x > y > Z) ^^ ^ ^^ seconde courbe par le point (^, n, ^) sont prolongées dans les mêmes sens que les arcs s et ç , elles formeront , avec les demi-axes des coordonnées positives , des angles dont les cosinus seront respectivement égaux , pour la première tangente , à

dx dy di

et pour la seconde tangente, à

d^ dy, dC

Par suite, si l'on nomme «^ l'angle que les deux tangentes fijrment entre elles , on aura [en vertu de l'équation (48) des Préliminaires]

. dx d^ dy d» d ■^ d^ dxd^-i-dyd>i-i-d:id^

(12) C0SJ^ = — ; :; 1-— 1 — -} •- — T" -7—= 1~~} *

» ' ds dç ds dç ds dç dsdç

Les deux tangentes deviendront parallèles , lorsqu'on aura

in)

d^ dx

dç ds '

£^11 dy dç ds '

dç ds "*

ou bien

d^ dx dç ds '

d n dy dç ~ ds '

dc d-

dç ~ ds

Il faut observer d'ailleurs que les formules (13) et (i4) peuvent être remplacées par la seule formule

d^ rf „ d^

lac]

uelle or

déduit

dx "^

y\dx

'-\-dy

■-^di')

Ajoutons que les deux tangentes comprendront entre eiles un angle droit, si l'on a coscAzzzo, et par conséquent

(16) dx d^ -^ dy dn ~\- di dC, = o.

Si , dans l'équation (12), on substitue pour ds et dç leurs valeurs tirées des formules (11), on obtiendra la suivante :

, \ i\ , dx dp -i- dy dn -i- d7 dl'

(17). cos J\ =:!+:: ^ ^ t s

V{dx^-^-dy--i-di-)y^{dl'-i-d>,^-i-d^')

Lorsque dans cette dernière on ne détermine pas le signe du second membre, elle fournit deux valeurs de J^ , renfermées entre zéro et vr , qui représentent l'angle aigu et l'angle obtus compris entre les deux tangentes prolongées indéfiniment de part et d'autre des points {x, y, z) et

Lorsque les deux courbes se rencontrent en un même point, elles sont censées former entre elles les mêmes angles que les tangentes menées par le point dont il s'agit. Alors on a pour le point de rencontre

(18) ^ = x, ifl=^y. ^ = Z;

et les angles que les deux courbes forment entre elles coïncident évidemment avec les valeurs de J^ , renfermées entre zéro et vr, qui vérifient l'équation (17).

On dit que deux courbes tracées dans l'espace sont normales l'une à l'autre , lorsqu'elles se coupent à angles droits , et qu'elles sont tangentes ou qu'elles se touchent , lorsqu'elles ont , en un point, qui leur est

Leçons de AJ. Cauchy, i." Année. ^y/;

282 APPLICATIONS GÉOxMETRIQUES ^

commun, une tangente commune, c'est-à-dire, lorsque l'angle aigu compris entre les deux courbes s'évanouit. Dans le premier cas , la formule

(i(j), ou

est ve'rifiée pour le point d'intersection ; dans le second cas, les coordonne'es du point de contact vérifient la formule (15), ou, ce qui revient au même, les deux équations

d i\ dy d( d :i

Il est essentiel d'observer que, dans les diverses formules ci- dessus établies, les différentielles disparaîtront toutes en mcme temps, quand on aura éliminé ils, de,, dy , dt, di et dt,, à l'aide des formules (i 1) réunies aux équations différentielles des courbes proposées.

Rien n'empêche de substituer, dans les équations de la seconde courbe, les lettres x, y, 1 aux lettres ^, vi, (^, et de prendre ensuite l'abscisse .v, correspondante à un point de l'une ou de l'autre courbe, pour variable indépendante. Alors les premiers et les seconds membres des formules (20) devront être remplacés par les valeurs des dérivées

dy / d 1^ I

"77 — ^ ' "77 — ^ ' tirées des équations des deux courbes; et, pour que ces courbes se touchent au point dont l'abscisse est x , il suffira que les valeurs des quatre quantités

relatives au point dont il s'agit, restent les mêmes dans le passage de la première courbe à la seconde. Au reste , cette proposition est évidente ; car, si les conditions qu'on vient d'énoncer sont remplies, il est clair que, pour l'asbcisse x, les deux courbes auront, non-seulement un point commun, mais encore la même tangente.

Nous allons maintenant établir un théorème qui est fort utile dans la théorie des contacts des courbes , et que l'on peut énoncer comme il suit :

2.*= Théorème Etant données deux courbes qui se touchent , si. a partir du point de contact , on porte sur ces courbes , prolongées dans le même sens , des longueurs égales , mais très - petites , la droite qui joindra les extrémités de ce^ longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes.

Démonstration. Supposons que les longueurs égales , portées sur la première et la seconde courbe à partir du point de contact, aboutissent, dune part, au point {^,y> ^), de l'autre, au point (^, >i , C,)- Soient de plus s ei c, les arcs renfermés, i .° entre un point fixe de la première courbe et le point (.v, y , i), 2," entre un point fixe de la seconde courbe et le point (^, v , C,). Tandis que les coordonnées x,y, 1; ^, 'a, C, varieront simultanément, la différence

restera invariable, et l'on aura en conséquence ç^ns-^const. ,

(2 i) d ^ =:r ds.

Soient d'ailleurs a,, fi, y les angles que forme avec les demi-axes des coordonnées positives la tangente commune aux deux courbes , prolongée dans le même sens que les arcs j et $ ; is' la longueur de la droite menée du point {^,n,^) au point [x , j , 7); enfin A,^, v les angles que forme cette droite avec les demi-axes des coordonnées positives. On aura sensiblement

. dx dp ^ dy d)i d~ dX

(22) cosct:=- = — , cos/3=:=-^:=-, cos y =: -^ zr. - ,

(23) ^:=^[[.r-^y -^ij-^Y ^[^-C^Y],

(24) COSA^-^ ? COS /M. = ^-5 CCS V =:

Nn *

et l'on tirera des formules (lo) réunies à l'équation (21)

dx'- + dy' -\-dz —dî,'-^ dv' -+- d^\ ou , ce qui revient au même ,

(25) [dx-^dl] [dx-dî,) -+- [dy^d^) [dy-df) -t- [dz-^d(,) [di-dQ — o.

Or les équations (22) donneront

(26) ^>H-^ dy-^ci. __ dl-^'iL—ds-^d', — zds. ^ ' cos a cos 8> cos y

De plus, en appliquant aux seconds membres des formules (24) le principe énoncé à la page 87, on reconnaîtra que les quantités cos A , cos/x, cosv peuvent être déterminées approximativement par les formules

, V ^ dx — dP dy—dn dz — d^

(27) C0SA=: -, —> COSM, = — =— ; J cosv

^ / J dis 'dis du

On aura donc à très -peu près

(28) dx-^d% dy — di\ di — d( ^^

^ ' cos A COS jU COS V

Cette dernière équation sera d'autant plus exacte que les points (.v, /, z) et (^, y\ , (^ ) se trouveront plus rapprochés du point de contact des deux courbes. Si maintenant on remplace, dans la formule (25), les sommes dx-^d^, dy-\-d^, dz-+-d^

par les quantités cos oc, cos/3, cos y, qui sont entre elles dans les mêmes rapports , et les différences

^.v — de,, dy — dy), dz — d^

par des quantités proportionnelles à ces différences, savoir, cos A, cos/met cos Al, on trouvera définitivement

(2^) cos et cos A -f- cos/3 cos /M. -f- cos 7 cosv z= o.

Donc la droite menée du point {x,y,z] au point (|, v, ^] sera sensi-

bfement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes, ou, ce qui revient au même, sensiblement parallèle au plan normal.

On pourrait, dans le théorème qu'on vient d'e'tablir , remplacer la seconde courbe par une droite tangente à la première, et l'on obtiendrait alors la proposition suivante.

3.^ Théorème. Si , à partir d'un poiut donné sur une courbe , on porte sur cette courbe et sur sa tangente , prolonge'es dans le même sens , des longueurs égales et très-petites , la droite qui joindra les extrémités de ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à la tangente, ou, ce qui revient au même , sensiblement parallèle au plan normal.

Concevons, pour fixer les idées, que l'on désigne par / chacune des longueurs égales portées sur la courbe et sur sa tangente à partir du point donné. Les angles formés avec les demi -axes des coordonnées positives par la droite qui joindra les extrémités de ces deux longueurs seront des fonctions de /' ; et si l'on fait converger i vei's la limite zéro, ces angles convergeront en général vers certaines limites, et s'approcheront indéfiniment de ceux qui déterminent la direction d'une certaine normale avec laquelle la droite dont il s'agit tendra de plus en plus à se confondre. Cette normale, qui mérite d'être remarquée, est celle que nous appellerons normale principale. Pour en fixer la direction, il suffirait de recourir aux formules (27) et au principe énoncé à la page 87. On peut aussi arriver très-facilement au même but par la méthode que nous allons indiquer. .

Désignons par .v, y, 1 les coordonnées du point de la courbe qui coïncide, non plus avec l'extrémité, mais avec l'origine de la longueur /", c'est-à-dire, les coordonnées du point par lequel on mène une tangente à la courbe. Soit toujours s l'arc compté sur la courbe entre le point {x, y, 1) et un point fixe placé de manière que la longueur ; serve de prolongement à l'arc s. Soient encore et, /3, y les angles que forme avec les demi-axes des coordonnées positives la tangente au point {x,y, ^) prolongée dans le même sens que l'arc s. Si l'on prend cet arc pour variable

indépendante, l'extrémité de la longueur i, portée sur la courbe, aura évidemment pour coor<lonnées trois expressions de la forme

dy 1^1 d\

(3°) ( y^-'i7^^[-ÎT-^-')^

I, J, K devant s'évanouir avec i ; tandis que lextrémité d'une autre longueur égale à i , portée sur la tangente, et comptée dans le même sens que la première , aura pour coordonnées

i cos et

(31) ( y-+-icosf3=y-h-i

l -+- i cos y := 7 H- /' , ^

Cela posé, si l'on nomme i< la distance comprise entre les extrémités des deux longueurs, et A, ^, v les angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la droite qui , partant de l'extrémité de la seconde longueur, se dirige vers l'extrémité de la première, on aura évidemment

, , ^(^*') 4(^-^) iiziii).

(33) cosA = ' COS;a= ^ ,cosv= '

et par suite

cos A COS /J.

ds^ ds' ds'

vii^^^r-^^^-^'ïM^^^n

DU CALCUL INFLNITÉSLMAL. 287

Si maintenant on fait converger / vers la limite zéro, les valeurs numériques de /, J, K décroîtront indéfiniment, et, en passant aux limites, on tirera de la formule (34)