SEIZIÈME LEÇON

Diffcrennclle de l'Arc d'une Courbe quelconque. Sur les Courbes et les Surfaces courbes qui se coupent ou se touchent en un point donné.

Concevons qu'une courbe quelconque étant représentée par deux équations entre ies coordonnées rectangulaires x,y, 1, on appelle s l'arc de cette courbe compris entre un point fixe et le point mobile {^■>y> Z\- Si l'on attribue à l'abscisse .v un accroissement très-petit Aa,, ies variables )' , 1, s croîtront elles-mêmes de quantités positives ou négatives, qui seront très- petites [abstraction faite de leurs signes], et qui seront représentées par A.v, A;-, Aj. De plus, il est clair que la corde de l'arc dbAj, ou, en d'autres termes, la distance du point {x,y, i) au point (.v-f-A.v, y -\- ùi.y , ^-i-A^), sera numériquement égale à

/(Aa-4-A/h-A^*).

Cela posé, pour déterminer facilement la différentielle de l'arc s , il suffira de recourir à un principe assez évident, savoir, qu'un très-petit arc de courbe se confond sensiblement avec sa projection sur la tangente menée par un de ses points, c'est-à-dire que le rapport du petit arc à sa projection seréduit sensiblement à l'unité. En effet, la projection de l'arc étant la même chose que la projection de la corde , et le rapport de la corde à sa projection étant égal au cosinus de l'angle formé par la corde avec la tangente, ou, en d'autres termes, à une quantité qui diffère très-peu de l'unité, il suit immédiatement du principe ci-dessus énoncé qu'un très-petit arc se confond sensiblement avec

sa corde , c'est-à-dire que le rapport d'un arc infnime/it petit à sa corde a i'unite pour limite *. Cette proposition étant admise , on en dcdiiit la formule

i I J I — tim ^(^^.^^^.^^,=) — ± /(c/A^-^-.yyM-./^^) '

de laquelle on tire

(2) ds = ± ^{dx' -H df H- dz)- On aura par suite

(3) ds'-:=dx'-¥-d/ -hdi.

Si l'on prend x pour variable indépendante , et si l'on fait , pour abréger ,

d y / di /.

la formule (2) donnera

(4) ds=:zh]/{l-h/^~^z'')-^-'^-'

Il est bon d'observer que, dans l'équation (4), on doit réduire le double signe ± au signe -+- , lorsque l'arc s croît avec l'abscisse x , et au signe — 'dans le cas contraire.

Si, dans les équations (5) de la 13,^ leçon, on substitue au radical y^{dx^ -^dy^ -i-di) sa valeur tirée de l'équation (2), on obtiendra l'un des deux systèmes de formules

, . dx n ^y '^z

[<) cos et =: — ; — j cos p z=z —r--» cos y rrr —->

(6) COSctm — — ; > cos p = 7^-5 COS y = 7^*

* On pourrait considérer cette dernière proposition comme évidente, et la substituer au principe énoncé plus haut. Mais il paraît convenable de faire servir à la mesure de la longueur d'un .très-petit arc de courbe, passant par un point donné, celle de toutes les droites qui s'en rapproche le plus dans le voisinage du point dont il s'agit [ )tp}'e^ ci-apres la 21/ leçon].

2^8 APPLICATIONS GEOxMETRIQUES

Le premier système devra être employé pour ia détermination des angles ce, /3, y formés par la tangente à la courbe avec les demi -axes des coordonnées positives , si cette tangente a été prolongée dans le même sens que l'arc s. Au contraire, les angles dont il s'agit seront déterminés par le second système de formules, si la tangente a été prolongée en sens inverse. C'est ce que l'on prouvera sans peine à l'aide des raisonnemens dont nous avons déjà fait usage dans le cas des courbes planes [voyei ^^ P'^g^ So],

L'angle aigu formé par la tangente au point {x, y, i) avec l'axe des aest ce qu'on nomme i'i/icli/i^isoii de la tangente ou {'inclinaison de la courbe par rapport à cet axe. Si l'on désigne par r cette inclinaison , l'angle r sera évidemment égal ou à l'angle et ou au supplément de a.. On aura donc cos r := it cos et , et l'on tirera de la première des équations (5) ou [6)

l s , d X , . ds

(7) cosr=r::±— — > sec r

d s dx

Si, dans ces dernières, on substitue à ds sa valeur tirée de la formule (4)» et si l'on observe que r représente un angle aigu dont le cosinus et la sécante sont nécessairement positifs, on trouvera

(8) cos r =rr -p^y-j-y^r^— ^ , séc r = /(iH-^' -h 3'^).

Pour montrer une application des formules ci -dessus établies, considérons l'hélice représentée par les équations (38) de la 13.'^ leçon. La valeur de cosy déterminée par la dernière des formules (4o) de la même leçon sera constante, et les formules (5) ou (6) donneront

j ^ di

COS y