COS A COS U. COS V

de laquelle on lire

COS A COS /i COS 1

d'x d-y d'i 1/[{d'xY-^-{dyY-^-{d'ly]

II serait facile de s'assurer directement que la droite qui passe par le point (a, y, ^), et forme avec les demi-axes des coordonnées positives des angles déterminés par la formule (38), est une des normales menées par le point {x ,y, ^ ) à la courbe donnée. En effet, si ['on différencie l'équation (3), en considérant toujours s comme variable indépendante , on aura

(39) ^.v d'- X -+- dy d'-y -^- did'- z =: o ;

puis, en ayant égard à ia formule (38) et à l'équation {6) de la 13.^ leçon , on trouvera

cosût cos A H- cos/3 cas f/, -f- cosy ces v = o.

Donc la droite en question sera perpendiculaire à la tangente, ou, en d'autres termes , elle sera normale à la courbe proposée.

En prenant toujours l'arc s pour variable indépendante, on tire des équations (5)

^"^^^ ds ds^ ' d's ds^ ' Ts ~d~F"

Par conséquent la formule (38) peut être réduite à

, . . cos ^ coS(U cos K

d cos a d cos fi (/cos -y

Si l'on cessait de prendre l'arc s pour variable indépendante, la formule (35) deviendrait inexacte. Mais la formule (4i) existerait toujours; et, en substituant dans celle-ci, à la place de cos ce , cos/3, cosy, leurs valeurs tirées des formules (5), on trouverait

, . , cos A COS^ COS V

Observons encore que, dans le cas où la courbe donnée se réduit à une courbe plane, la normale principale est évidemment celle qui reste comprise dans le plan de la courbe.

Les angles A, /u,, v étant une fois déterminés par les formules(3 5) ou (42), il devient facile d'obtenir les équations de la normale principale. En effet, si l'on nomme ^, n, ^ les coordonnées d'un point quelconque de cette droite , on aura [en vertu de la formule (20) des Préliminaires]

\^ji cos A cos^ cos r

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 289

puis on en conclura , en supposant que l'arc s est pris pour variable

indépendante ,

et , en admettant une autre hypothèse ,

Lorsque deux surfaces courbes se rencontrent en un point donné ; elles sont censées former entre elles, au point dont il s'agit, les mêmes angles que leurs plans tangens. On dit en particulier que deux surfaces sont normales l'une à l'autre en urT point qui leur est commun, lorsque les plans tangens menés par ce point sont perpendiculaires entre eux, et qu'elles sont tangentes , ou qu'elles se touchent, quand ces plans coïncident. Dans le dernier cas, les normales aux deux surfaces coïncident pareillement. Cela posé , soient (4<^) ' « = o , V = o ,

les équations , en coordonnées rectangulaires , de deux surfaces qui se touchent au point {x, y, i). En vertu de la formule (6) [i4.^ leçon],' les cosinus des angles formés par la normale commune aux deux surfaces avec les demi -axes, des coordonnées positives seront proportionnels, d'une part, aux trois dérivées

dy '

•il '

et de l'autre, aux

dérivées

dv dy '

dv dl

On aura donc

ldu\ \dx j

/ d II \ l dy) (dv \

( du\

[ dv \

\dx 1

/ dv \ \dz j

Lefons de AT. Cauchy

: I.'' Année,

Réciproquement, si cette condition est vérifiée pour le point (.v, ;■, i), ies deux surfaces auront en ce point une normale commune, et seront tangentes l'une à l'autre.

Pour que la formule (47) subsiste , il est nécessaire et il suffit que les équations différentielles des deux surfaces, savoir,

! du . du , du ,

(48) ''^ dy ^ d^ <^

\ dv , d V , d V ,

\ dx dy -^ d i ^

s'accordent, quand on y substitue pour x,y, i les coordonnées du point commun , et se réduisent alors à une seule équation entre les différentielles Jx, dy , di.

Si lés équations des deux surfaces étaient résolues par rapport à 3, et ramenées à la forme

leurs équations différentielles seraient de la forme

^50) di^izpdx -h qdy.

Alors les deux surfaces se toucheraient au point (-v,y, i) , si, dans le passage de la première à la seconde, les deux quantités /^ et ^ conservaient les mêmes valeurs.

DU CALCUL INFL\n ESLMAL.