DIX-SEPTIÈME LEÇON
Du Plan oscillateur d'une Courbe quelconque et de ses deux Courbures. Rayon de courbure , Centre de courbure et Cercle osculateur.
Considérons sur une courbe donnée un point quelconque [P], et concevons que l'on ait mené en ce point une tangente à la courbe. On pourra faire passer par cette tangente une infinité de plans tangens , dont l'un renfermera la normale principale. Ce dernier , qui se confond avec le pian de la courbe, toutes les fois que celle-ci devient plane, mérite une attention particulière. On le nomme plan osculateur. Pour l'obtenir, il suffit évidemment de tracer un plan tangent qui renferme avec le point [P) un second point [Q) de la courbe proposée, et de chercher la position que tend à prendre ce même plan, dans le cas où le second point se rapproche indéfiniment du premier. En effet, soit / la longueur de l'arc Wq compris entre les deux points , et supposons que, la tangente étant prolongée du même coté que l'arc PQ , la longueur i portée sur la tangente aboutisse au point (/?). La droite QR, comprise dans le pian mobile, sera sensiblement parallèle, pour de très-petites valeurs de /, à la normale principale; et par conséquent l'angle formé par cette normale avec le plan mobile sera sensiblement nul. Donc cet angle aura zéro pour limite; c'est-à-dire que le plan mobile tendra de plus en plus à se confondre avec le plan tangent qui renferme la normale principale, ou, en d'autres termes , avec le plan osculateur.
Concevons maintenant que les coordonnées rectangulaires de la
2g 2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
courbe étant x, y, i, la tangente et la normale principale, menées par le point (P), forment avec les demi-axes des coordonnées positives, la première, les angles et, /3, y, et la seconde, les angles A, fx^ v. Supposons d'ailleurs que l'on prenne pour variable indépendante l'arc s compris entre un point fixe et le point mobile {>'■ , y , z)- ^^ ^'Ç^^ ^^^^ coïncider ce dernier point avec le point (/^), on trouvera [voyei la 13/ et la 1 6.^ leçons]
, , cos a cos fi
d X dy
cos A cos u.
cos 7
dl
cos V
Cela posé, imaginons que par le point (v,^, i) on élève un demi-axe perpendiculaire au plan osculateur. Ce demi-axe coupera nécessairement à angles droits la tangente et la normale principale. Donc , si l'on
nomme
les angles qu'il sera censé former avec les demi -axes des coordonnées positives , on aura les deux équations
cos et cosL -1- cos/3 cosy)^ -}- cosycos N =:z o , cos A cosL -î- cos/.'. cos M -\- cosv cos N z=: o ,
qne les formules (i) et (2) réduiront à
( cos L.d x —h cos //. d y --{- cos N .d 7 ■=. o ,
( cosL. ^^A'-J- cos/I/.^7' --H cos TV. ^^2 = o-
Ces.darnières équations peuvent être remplacées par la seule formule
, V Cf-5 J^ COS yi/ C05 A''
^^' dyd'l — did-y did^x—dxd\ dxdy — dyd'-x '
de laquelle on tire
DU CALCUL L\FINITESL\L\L. 293
cos L cos Al cos A'
dyiT^—did-y JiJ'-x — dxd'i dxdy — d/d'x
V[[dyd^l—did^yy-^(did'x — dxd\y-i-{dxd'j—dyd^-x)']
^[[dx^--i-d/'-i-di')[{d'xy-i-{dyy-i-{d'iy]—{dxd''x-i-djdy-^did'i)'] Si, Je plus, on à égard aux équations
{ d.\ d- X —h dy d'- y H- did"" 1^=^ o ,
on trouvera définitivement
cos L cos /I7 cos A'' , I
^ '' dyd\-didy did^x—dxd^'i dxdy-dyd'-x dsV[{d-xY-^{dyY-^{d'^YY
La formule (8) fournil cviJeminejit deux systèmes de valeurs de cosL, cosyl-/, CGsN , et ces deux systèmes correspondent aux deux directions suivant lesquelles on peut prolonger la perpendiculaire menée par le poi/it {x, y, i) au plan osculateur.
Il ne sera pas inutile d'observer que la formule (5) peut être remplacée par les deux suivantes,
ces L cos AI cos A''
/ \ cos Z, cos A-I cos A^
cus/J dcosy—cosy dcaii cos> dco£a—cosa i/cosy cosa dcosfi—coifi dcosa '
dont la dernière se déduit- immédiatement des équations (3) combinées, non plus avec les formules (i) et (2), mais avec la formule (4i) de la 16.^ leçon.
On arriverait encore à la formule (10), si l'on supposait que L, M , N désignent les angles compris entre les demi-axes des coordonnées positives et une droite perpendiculaire au plan qui , passant par le
2q4 applications géométriques
point (.v,^, z) et par la tangente en ce point, est parallèle à une autre tangente menée par un second point infiniment voisin du premier. En effet, soient
Ax, ù.y, à-i, Acosec, Acos/S, Acosy
les accroissemens que prennent les quantités
.V , y , 1' ^°^ ^ • '-"^ (^ ' ^'^^ y dans le passage du premier point au second. Les valeurs de
cos L , cos M , cos A'
seront évidemment déterminées, dans l'hypothcse admise, par la première des équations (3) jointe à la formule
(coscc-t-Acoscc) cos L -h(cos/3-+-Acos/3) cosyî^-t- (cosyn- Acosy) cos yV = o ,
que l'on pourra réduire [en vertu de l'équation dont il s'agit] à
(m) cos Z. . a cos et -+- cos /l^ . A cos /3 -!- cos A^. Acosy m o.
Or, si le second point vient à se rapprocher indéfiniment du premier, les différences infiniment petites
A cos d. , Acos/3, Acosy deviendront sensiblement proportionnelles aux différentielles
d cos au, ^cos/3, i^cosy,
et, en passant à la limite, on tirera de la formule (11)
(12) cos L. d coscL-\- cos yî/. ^cos/3-l-cos N.d cos y = o.
Cela posé, comme l'équation (12), combinée avec la première des équations (3), reproduira la formule (to), nous pouvons affirmer que les angles L, M, N, déterminés par la formule (10), appartiennent à
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 295
une droite perpendiculaire au plan qui renferme la tangente menée par le point [x , )• , i) , et qui est parallèle à une autre tangente infiniment voisine de la première. Donc ce dernier plan ne diffère pas du plan osculateur.
Si l'on cessait de prendre l'arc s pour variable indépendante , les formules (2) et (8) deviendraient inexactes en même temps que la seconde des -équations (7) : mais les formules ((>), (10), et par suite les formules (5), (6), continueraient de subsister; d'où l'on peut conclure que les équations (4) , propres à remplacer la formule (5) , subsisteraient pareillement. Au reste, il est facile de vérifier directement cette conclusion. En effet, lorsqu'on cesse de prendre s pour variable indépendante, on doit, dans la seconde des formules (4), substituer aux différentielles
rf'* X , d^y , d^i, les expressions
Or, si , après cette substitution , l'on a égard à la première des formules (4), on verra la seconde reprendre sa forme primitive.
Quelle que soit la variable que l'on considère comme indépendante , on tire de la première des formules (7) (13) dx d^ X ->r- dy d-y -\- did^i ^=- ds d^'s ;
et par suite la formule (6) peut être réduite à
cos L cos AI cos N
dx
ds
dy
ds
dl ds
ds v[{d^ xY -+- [d'yY -i- [d'iY - ('^' 'Y J
Dans le cas particulier où l'on prend x pour variable indépendante, et où l'on désigne par ;■', ^'; /, i" les dérivées de y et de z ^^ premier et du second ordre, on tire de la même formule
. cos L cos M cos A^ , I
Les angles L, AI, N étant déterminés par la foriffiile (8), (i4) ou (i j), il devient facile d'obtenir l'équation du plan osculateur qui passe par le point {x,y, i). En effet, si l'on désigne par ^, vi, ^ \es coordonnées d'un point quelconque de ce plan, on trouvera [en vertu de la formule [66) des Préliminaires]
(16) (^— a) cos/. H- [v -}■) cos Af -h (^— 2)cos.V:=o,
puis, en ayant égard à la formule (i4).
{ I 7) l^-^) {é^'Z-dzd7)Ay^-y) [dzc{-s-<hd'-z)-+-{^-z) [dxd^y-dyd'-x) = o.
Si l'on prenait .y pour variable indépendante, il faudrait à la formule (14) substituer la formule (15), et par suite l'équation du plan osculateur se réduirait à
^^ Soit maintenant Aj l'accroissement positif ou négatif que prend la variable cT, quand on passe du point ^x , y , z) au point
( .V ■+ A .Y , ;• -f- Aj , 2 -4- A z)-
L'angle compris entre les tangentes extrêmes de l'arc infiniment petit zt Aj sera ce qu'on nomme X angle de contingence. Désignons par on ce même angle, et par €l l'angle infiniment petit compris entre les plans osculateurs qui correspondent aux extrémités de l'arc , ou , ce qui revient au même, entre les perpendiculaires aux plans dont il s'agit. Les quantités o), H ne pourront s'évanouir constamment que dans certains cas
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 297
particuliers, savoir, la première, lorsque la courbe proposée se changera en une droite, et la seconde, lorsque cette courbe deviendra plane. Mais, en général, u et Q. conserveront des valeurs finies différentes de zéro, et l'on pourra en dire autant des limites vers lesquelles convergeront les rapports
As As
pendant que l'arc dtlAs décroîtra indéfiniment. Ces limites, qui seront équivalentes , si l'on considère une courbe plane , l'une à la courbure de cette courbe, l'autre à zéro, serviront à mesurer dans tous les cas ce que nous appellerons la première et la seconde courbure de la courbe proposée. En raison des deux courbures que nous venons de signaler, toute courbe qui n'est pas comprise dans un plan se nomm.e courbe à double courbure. Si l'on z'eprésente par
ces mêmes courbures, f, Si seront les rayons des cercles auxquels elles pourront être attribuées, et l'on aura, en vertu de ce qui précède,
(■9) . i=/'"'(±^)' (-) -ir='""(±^)-
Lorsque Tare rtAj est très-petit, sa corde y'(A.v*-î-A)'*-f- A^") est sensiblement perpendiculaire aux plans normaux menés à la courbe que l'on considère par les deux points {x , y , 1) , (.v-i-A.v, j-j-Av, i-^t^yj] ; et la plus courte distance du point (.v, y, 2) à la ligne d'intersection des deux plans est sensiblement équivalente au rayon j>. En effet, soit r cette plus courte distance. Si l'on trace un plan qui renferme la longueur r , et qui soit perpendiculaire aux deux plans normaux, la corde >/( A.v'-f- Aj^-1- A^- ) formera un très-petit angle avec le plan doju il s'agit ; c'est-à-dire qu'elle formera un très-petit angle avec sa projection sur le même plan. Donc cette projection sera équivalente à la corde
Lei^om tU M. CdKchy. i."^ Année. pn
298 APPLICATIONS GÉOxMÉTRIQUES
multipliée par un cosinus très- peu différent de l'unité, et pourra être
représentée par un produit de la forme
I désignant une quantité infiniment petite. De plus, dans le triangle formé par la longueur r et par la projection de la corde, l'angle opposé au côté r sera sensiblement droit, tandis que l'angle opposé à la projection de la corde sera précisément l'angle des plans normaux , ou , ce qui revient au mcme, l'angle cù compris entre les tangentes menées par l'extrémité de l'arc dzAj. On aura donc
;in(^±g)
rt As
(n-/)/[A;v^-HAy^-i-A^'] (n-/)ai /[Ax'-l-Ay'-i-A^^] ±As
£ étant un nombre infiniment petit; et, par suite, en fiisant converger l'arc ±Aj vers la limite zéro, on trouvera
-j. — - = lini j. ^ zrr — ,
lim r 2Z A J j>
OU
ce qu'il fallait démontrer.
Il importe d'observer que le plan osculateur mené par le point {x,}-, i), étant sensiblement parallèle à la tangente qui passe par le point (.vH-A.v,^-t-A y, i-+-Ai), sera encore sensiblement perpendiculaire aux plans normaux menés par les deux extrémités de l'arc d::Aj, et à leur commune intersection. Donc la normale qui est perpendiculaire à cette commune intersection , et sur laquelle on compte la longueur /■ , se confondra sensiblement avec la normale comprise dans le plan osculateur, c'est-à-dire, avec la normale principale. De cette remarque, et de ce que nous avons dit ci-dessus, il suit évidemment que, pour obtenir le rayon f, il suffit de construire la normale principale correspondante
DU CALCUL INFINITESLMAL. 299
au point (.v, y. i), et de chercher la portion de cette droite comprise entre le point (-v,/, i) et un plan normal infiniment rapproché de ia droite elle-même. Le rayon f, mesure de cette manière siu" la normale principale, est ce qu'on nomme le rayo/i de courbure de la courbe proposée, reladf au point (.v, y, 3) ; et l'on appelle centre de courbure celle des extrémités du rayon de courbure qui peut être considérée comme le point de rencontre de la normale principale et d'un plan normal infiniment voisîn. Le cercle qui a ce dernier point pour centre et le rayon de courbure pour rayon, se nomme cercle de courbure ou cercle osculaîeur. II touche ia courbe proposée, et a la même courbure qu'elle. Ajoutons que, si par la tangente au paint {^x,y, i) et par la perpendiculaire au plan osculateur on fait passer un nouveau plan , le centre de courbure sera évidemment situé, par rapport au nouveau plan, du même côté que le point (.v-+-A.v,)'-i-A^, ^-i-Aj;) , et que par conséquent ce centre coïncidera toujours avec l'un des points du demi-axe dont ia direction est déterminée par les angles A, /x,, v propres à vérifier la formule (35) de la 16.^ leçon.
Si, dans la valeur de — fournie par l'équation (19), on veut remplacer la quantité infiniment petite f par les angles finis ce , /3 , y , ou plutôt par les différentielles de leurs cosinus, il suflîra de recourir aux formules
CCS u> = cosct(cosct-HAcoso(-) -f- cos,5(cos/3-t-AcoS(S) -+- cos7(cos'y-HAcos7) , I ziz cos* et -h cos* /3 H- cos^ y , I = (cos(iH-AcoscL)*-h(cos/3-]- Acos/S)'-H(cosy-hAcosy)',
desquelles on tire i(i — cosw) = cos* d. — 2coscc(cosot-H- Acosot.)H-(cosct-l- Accsct)' ^+- cos^/3 — 2cos/3(cos/3-|-Acos,;Ô)-t-(cos.i3-hAcos/3)^ 4- cos* y — 2 cosy (cosy -t- A cosy ) -f- (cos y H-A cos y)',
300 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
ou, ce c]ui revient au même,
(21) f 2sin-^y =r (Acosct)' -H (Acos/3)* -4- (Acos'y)\
En divisant par As'- les deux membres de cette dernière équation , l'on en conclura
(srn-j a \i / co \i / A cos a \î / A cos 3 \i / A cos > \i .
puis, en faisant converger Aj vers la limite zéro, et ayant égard à la formule (15?), on trouvera
et par suite
, . I /rfdcosa\' f d cos & y /dcOiy\t~\
(-3) T^V'^Ll-^^) -^(-^7-) -^-(-77^) J
On prouverait avec la même facilité que l'équation (20) peut être reniplacée par la suivante '
I / r I d coi L y- I H coiA' \-' I d cos /V \ » T
Il résulte évidemment des formules (23) et (24) que la première courbure — est généralement nulle, dans le cas où les angles ce, /3 , y
deviennent constans, et la seconde courbure — — , dans le cas où les
angles L, M, N deviennent constans à leur tour; ce qui s'accorde avec les remarques déjà faites.
Si , dans la formule (23) , on substitue aux cosinus des angles et-, /?, y leurs valeurs déduites de la formule (i), on trouvera
- ds
ÏAt)']
\ds /
L ds J
^ ds J
DU CALCUL INFINITESLNL\L. 301
puis, en développant, et ayant cgard à i'cquation (13),
^^^1 j. — di-
OU , ce qui revient au mcme ,
^ -^{{dyà^i—did^yy -^ [did-x — dxd'iY -t- [dxdy—djd'x]']
y^[{dyd'-i—didyy -+-{did'x — dxd'i)'-^ {dxdy—dyd'xY]
{dx^-i-dy -i-d-J]'
Si l'on prend s pour variable indépendante , les formules (25) et (26) donneront
I ^[{d'xy^{dyy-^{d'ir]
Mais, en prenant x pour variable indépendante, on tirera de la formule / \ ' . [(.v'l"->'"^')'-^•l"'-^->"']
Enfin, si, à partir du point (v,/, 3), on porte sur la courbe donnée et sur sa tangente, prolongées dans le même sens, des longueurs infiniment petites, égales à i, et si l'on nomme i^ la distance comprise entre les extrémités de ces deux longueurs, on aura, en vertu de la formule (32) de la leçon précédente ,
s étant la variable indépendante ; et l'on conclura de l'équation (50), combinée avec la formule (28) ,
On pourra donc énoncer la proposition suivante :
I Z"" Thcorcme. Pour obtenir le rayon de courbure d'une courbe en un point donné , il suffit de porter sur cette courbe et sur sa tangente , prolongées dans le même sens , des longueurs égales et infiniment petites , et de diviser le carré de l'une d'elles par le double de la distance comprise entre leurs extrémités. La limite du quotient est la valeur exacte du rayon de courbure. Nous avions déjà établi ce théorème pour les courbes planes; mais on voit qu'il s'étend de même aux courbes à double courbure.
Si l'on suppose que le plan des x , y devienne parallèle au plan osculateur, les valeurs de cosL et cos A4 s'évanouiront, tandis que celle de ces A' deviendra "égale à zt i . Alors on tirera des formules (4)
(32) di =^ o , d'- i ^= o ,
et l'équation (27) se trouvera réduite à
I , dx d^y — dy d'x
^-'-^ -'' ' {dx--i-dy')i
Comme cette dernière coïncide avec la formule (20) de la 6.^ leçon , elle prouve que, dans l'hypothèse admise, le rayon de courbure de la courbe donnée est aussi le rayon de courbure de la courbe projetée sur le plan des .y, j, ou, ce qui revient au même, sur le plan osculateur. D'ailleurs, le plan des x, y étant arbitraire, l'hypothèse que nous avons faite se trouve applicable à tous les points de la courbe que l'on considère. Enfin il est clair que la normale principale de cette courbe se confond toujours avec la normale de la courbe plane qu'on obtient en projetant la proposée sur le plan des x , y. Ces observations fournissent immédiatement le théorème que nous allons énoncer.
i.^ Théorème. Le r.iyon de courbure d'une courbe tracée dans l'espace se confond toujours en grandeur et en direction avec le rayon de courbure de celte courbe projetés^ sur le plan osculateur.
Les remarques faites ci -dessus [pages pi et 5^2], relativement aux
DU CALCUL INFLNITÉSLMAL. ^03
rayons Je courbure des courbes planes, peuvent être évidemment ctentiues à des courbes quelconques, et il peut arriver qu'en certains points situes sur une courbe à double courbure , le rayon de courbure devienne nul ou infini, ou change brusquement de valeur. Le second cas aura gcne'ralement lieu , toutes les fois que la courbe projetée sur le plan osculateur présentera un point d'inflexion.
Nous allons maintenant appliquer les formules générales que nous avons établies à un cas particulier , et nous prendrons pour exemple i'hélice représentée par les formules (38) de la 13.^ leçon, savoir :
(34) .\=iRcosp, ^ = /?sin/?, i^zaRp.
Si , pour plus de commodité , on suppose que p soit la variable indépendante , on trouvera
ii X =z — RslnpJp , d y:=:: Rco^pdp , di^=^aRdp,
d'x =:z~ R cos dp- , dy^=: — Rsinpdp^, </'^r=o,
ou, ce qui revient au même, (3O
d'^ dy di
-smp cosp
swp
et par suite
-Rdp';
(37) ds=±{i-i~a'-)^Rdp, d's = o,
I Q\ cos a cos /3 cos 7 ,
Comme , en vertu de la seconde des équations (37) , la différentielle d's restera nulle, quel que soit p , il en résuite qu'on pourra employer les formules dans lesquelles l'arc s est pris pour variable indépendante. Cela posé, on tirera de la formule (38) [16.^ leçon]
3o4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
, . ' C03 A cos,a cos y ,
\Jy' cos p sin^ o '
de la formule (5) combinée avec les formules (3^)
. . cos Z, cos AI cos A'^ , I
^^ ' —as\np a cos p — i /(l-+-i2')
et de l'équation (23) combinée avec la formule (38)
// >, J__ ■ rfdsmpy f'JcospYY __i. ' "^P '
De plus, l'équation (16), qui représente le plan osculateur, deviendra
a[{^ — >.)sinp — {v)—)')co5p]-\-^—z=^o, et pourra s'écrire comme il suit :
(43) C,-Z = ^{y^cosp-^s'inp).
Enfin l'on tirera de l'équation (24) combinée avec la formule (4o)
Il est essentiel d'observej||^ue , si à la place de la formule (38) [16.* leçon] on employait la formule (36) [ibiiiem], le double signe dz de la formule (35)) se réduirait au signe -+-. Ajoutons que, si l'on substitue l'angle y déterminé par l'équation
(46) cosy^di:-^;^ -
a la quantité a, les formules (4o), (42) et (45) deviendront respectivement
DU CALCUL INFINITÉSIMAL. 3 o 5
/ , . C03 L cos Al cos N ■
(47) — z=z ■=. ru: iz cos y ,
^ ' ' sin p — cos p (ang y
(49) c^ r= — =: 2 /? coséc 2 y.
'^ sin v cos y
Il résulte évidemment Je la formule (39) que la normale principale de l'hélice au point {x, )>, z) coïncide avec la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe des ^ , ou , ce qui revient au même , avec la génératrice de la surface hélicoïde représentée par l'équation
(50) ^ == ^ /? arc tang ((^)) ,
[voyei la 1 3.* leçon]. Donc le plan qui passe par cette génératrice et par la tangente à l'hélice , c'est-à-dire , en d'autres termes , le plan qui touche la surface hélicoïde au point {x, y, i) , se confondra nécessairement avec le plan osculateur de l'hélice. On arriverait à la même conclusion , en comparant l'équation (43) à la formule (1^5)) de la 14.* leçon. Car, si l'on pose dans cette formifle
X z=:z R cos p , y -zzz R s\n p , on retrouvera précisément l'équation [/il).
L'équation (48), qui détermine le rayon dé courbure /, pourrait être directement déduite du i ." théorème. En effet , concevons qu'à partir du point [x,y, i) on porte sur l'hélice et sur sa tangente, prolongées dans le même sens, deux longueurs égaies et infiniment petites, désignées par /'. Soit i< la dl:,t3nce comprise entre les extrémités de ces deux longueurs, et supposons que la première aboutisse au point de l'hélice qui a pour coordonnées x-{-ùi.x , y -{- ù^y , ^-HA^. La seconde aboutira sur la tangente en un point dont l'ordojinée sera encore j-f-A^ [voyei le I." théorème de la 16.*^ leçon] , et par suite elle aura pour projection sur le plan des x, y
± tangy.A^.
Soit / cette même projection. Comme on a généralement
Leçms de A]. Canchy. i .'= Année.
dq
IzrzaRp, tang7 = ~, on trouvera
(51) /=:±tang7.A2 =:t/?A/7,
Donc la projection dont il s'agit sera équivalente à ceKe de l'arc rhAj, c'est-à-dire , à la projection de la longueur
portée sur l'hélice que l'on considère. On peut ajouter que la première projection se comptera sur la tangente au cercle représenté par la formule
{53) .x^-^f.=zR\
Enfin il est clair que la distance ^, comprise entre dçux points correspondans à la même ordonnée, sera parallèle au plan des .v, y, et ne différera pas de sa projection sur ce plan. Donc, si, dans ce même pian , on porte, à partir du point [x, y), sur le cercle et sur sa taijgente prolongés dans le même sens, deux longueurs infiniment petites égales à /, 'i^ sera la distance comprise entre les extrémités de ces deux longueurs. Cela posé, puisque le rayon de courbure du cercle est précisément le rayon R, on aura, en vertu du théorème i.^'',
R — îim — ;
et, comme ce théorème donnera encore
(3 zzz Utn f-
on en conclura
(54) -^=ii,ii-^,
puis, en ayant égard aux équations (51), (52) et {^j) , on trouvera définitivement
^p I ti^'dp'
ce qui s'accorde avec la formule (48).
(55) i- = /'■'« [-^h-Y = -éj-.r ^l+a^z= coséc» y ,
DU CALCUL LNFINITÉSLUAL. 307
