PLANS

Mesure et calcul d'un réseau de triangles. — Type des calculs d'une triangulation. — Comment on rattache les points secondaires au réseau principal. — Tracé du plan sur le papier. — De la planchette. — Lever à la planchette. — De la boussole . — Lever à la boussole.

Mesure et calcul d'un réseau de triangles.

66. La trigonométrie et les instruments de précision dont nous venons de parler, permettent d'obtenir dans les levers une exactitude beaucoup plus grande que celle qu'on peut attendre des procédés décrits dans la première leçon. La première opération à exécuter, quand on se propose de faire le lever d'un terrain uni, consiste à déterminer les positions des points principaux de ce terrain. Pour cela, il suffît de mesurer une base d'où Ton puisse apercevoir les points principaux du terrain , d'imaginer ensuite ces points joints aux extrémités de la base par des droites, et de mesurer, avec le cercle, les trois angles de chacun des triangles qui en résultent. Calculant ensuite les côtés de ces triangles par la trigonométrie, on aura toutes les données nécessaires à la détermination des points considérés sur le terrain. L'opération dont nous venons de parler s'appelle une triangulation , et l'ensemble des triangles un réseau.

Ayant calculé ainsi les éléments des triangles qui constituent le réseau, on aura facilement les longueurs des droites qui unissent deux à deux les sommets de ces triangles, et l'on pourra prendre ces droites pour bases secon^

daires, à Peffet de détermmer d'autres points du terrain qui ne pourraient être vus des extrémités de la base, si Ton veut agrandir le réseau,

67. La marche que nous venons d'indiquer pour déterminer les positions des divers points du terrain, s'offre immédiatement à l'esprit; mais, dans la pratique, on a jugé nécessaire de lui faire subir des modifications. Nous allons donner, à ce sujet, quelques développements essentiels.

Dans le réseau dont il a été question au n^ 66 les côtés des triangles sont déterminés par le calcul , à Fexception d'un seul, qui est mesuré directement ainsi que tons les angles. On peut admettre que la base a été mesurée exactement , mais les angles sont entachés d'erreurs plus ou moins grandes, suivant la précision des instruments employés; d'où il suit que les côtés déterminés par. le calcul seront aussi affectés d'erreurs. Et, si ces côtés viennent ensuite à être pris pour bases secondaires , les triangles qu'on calculera par leur secours seront encore plus fautifs que les premiers. Ces considérations ont conduit à chercher quelles étaient les meilleures conditions des triangles qui doivent former le réseau, et l'on a trouvé que la forme équilatère est la préférable au point de vue des erreurs. Sans doute , il est impossible de réaliser complètement cette condition , mais il importe de ne s'en écarter que le moins possible, et l'on n'admet jamais dans un réseau un triangle ayant un angle au-dessous de 3o degrés.

■ 68. Nous allons maintenant faire connaître la méthode généralement usitée pour former un réseau de triangles. , On commence par étudier le terrain qu'on se propose de lever, et l'on choisit un point central O [fig* 20) qui puisse être vu de loin, comme la pointe d'un clocher ou un signal placé sur un bâtiment élevé, ou mémo

un simple jalon muni d'un signal, si le terrain est découvert. On choisit ensuite, en deçà des limites du lever, six ou sept points ou plus, A, 6, . . ., desquels on puisse apercevoir le point O, et tels que les triangles ABO, BCO,..., s'approchent le plus possible de la forme équilatérale , ou du moins n'aient aucun angle au-dessous de 3o degrés. Un observateur tant sôit peu exercé parvient facilement à remplir cette condition à la simple inspection des lieux.

Le polygone ABCD... doit, autant que possible, être choisi de manière qu'un de ses côtés puisse être mesuré directement et pris pour base. Si cependant la nature du terrain ne le permettait pas , on mesurerait une base qui pût être rattachée à l'un des côtés du polygone , AB par exemple, par un ou deux triangles au plus, et le calcul de ces triangles ferait connaître la valeur numérique deAB.

69. Le côté AB du polygone étant connu , et les sommets marqués à l'aide d'une perche ou d'un jalon muni d'un signal , on stationne successivement en chacun de ces somliiets. Au point A on mesure les angles OAB et OAG , au point B, les angles OBA et OBC,...^ enfin, au dernier point G, les angles OGF et OGA. De ces mesures on conclut facilement chacun des angles en O , qu'il est alors inutile de mesurer directement, si les angles observés ont été déterminés avec une exactitude suffisante. On s'assurera de cette exactitude en additionnant tous les angles observés, et comparant la somme avec celle des angles du polygone qui est connue d'avance. La différence entre la seconde et la première de ces deux sommes divisée par le double du nombre des côtés du polygone sera l'erreur moyenne des observations. Si cette erreur moyenne surpasse celle qu'on doit attendre de rinstrumenl employé, il faut recommencer

LEVER DES PLAMS. 43

l'opération qui n'a pas été faite avec une exactitude suffisante; dans le cas contraire, on peut considérer les observations comme exactes et se dispenser de la mesure directe des angles en O , mais alors on augmente chaque angle observé de l'erreur moyenne dont nous venons de parler.

70. Les mesures une fois prises avec les corrections qu'on vient d'indiquer, il reste à faire le calcul des triangles. Le premier triangle ABO fera connaître AO et BO ; le second triangle donnera BC et CO ; le troisième CD et DO, etc. ; enfin le dernier donnera AG et AO. Ici on a un moyen de vérification des opérations , caria valeur du côté AO donnée par le dernier triangle doit être la même que celle qui est donnée par le premier. Les calculs que nous venons d'indiquer offrent encore une autre vérification des observations qu'il ne faut pas dédaigner. Elle est fondée sur le théorème suivant :

Si l'on joint les sommets d'un pofygoneferméABCDFFG à un point intérieur O, et que Von numérote à partir de i les angles à la base des triangles ABO, BCO, etc., dans V ordre où ils se présentent, quand on parcourt le polygone toujours dans le même sens , à partir d'un sommet quelconque A , le produit des sinus des angles de rang pair est égal au produit des sinus des angles de rang impair.

En effet, les triangles AOB, BOC, etc., donnent

OA sin (2) PB sin (4) OC sin(6) 0D sin(8) OB""sin(i)' 0C~"sin(3)' 0D"~sin(5)' 0E""sin(7)'

OE sin (lo) OF sin (12) OG sm(i4) ^ Ôf— sin (9) ' 5G~"sin(ii)' ÔÂ"~sin(i3l'

et , en multipliant membre à membre ,

sin (2) sin(4)sin(6) sin(8)sin (io)sin(i2)sin(i4)

sin(i)sin(3) 8in(5)sin{7)sin(9)sin(i i) sin(i3)

44 QUATRIEME LEÇOA.

ce qu'il fallait démontrer. On déduit de là

logsin (i) -hlogsin(3) -4-. . .-H logsin(i3) = logsin(2)-h logsin (4 )-+-•• .-f- logsin(i4)-

Tous ces logarithmes ont été pris dans la Table; on les substituera dans l'égalité précédente , et , si la différence des deux membres est trop considérable, on devra en conclure que les observations n'ont pas été suffisamment bien faites.

71. Ce premier réseau de triangles ainsi mesurés et calculés , on peut considérer chaque côté du canei^as polygonal ABCDEFG, comme pouvant à son tour servir de base pour la détermination de nouveaux points du terrain ; mais il faudra toujours, pour ces déterminations, choisir comme bases ceux des côtés du polygone qui sont susceptibles de donner les meilleurs triangles. On pourra , par ce procédé, déterminer les positions exactes d'autant de points du terrain que Ton voudra.

72. Les angles observés doivent être inscrits sur un carnet de poche, dans lequel on destine pour chaque triangle le verso d'une page et le recto de la page suivante. Sur le verso , on inscrit la désignation du triangle par les trois lettres des sommets , puis au-dessous on marque les observations des angles. Sur le recto, on fait le croquis du triangle , et l'on dessine au-dessous le repèrement des points de station par rapport aux points fixes voisins , afin de pouvoir retrouver les points de station, dans le cas où les piquets qui les signalent auraient élé arrachés.

Autant que possible, on doit choisir les différents points de station, de manière qu'on puisse observer des centres mêmes des stations , afin d'éviter l'opération de la réduction des angles (voirn^ 64).

Type des calculs (Tune Viangulation,

73. Nous croyons devoir présenter ici le type des calculs d'une triangulation. Les bases des six triangles dont le sommet est en O forment l'ensemble du polygone principal. Yoici le calcul détaillé des six triangles qui composent ce polygone , avec les éléments observés et calculés des six autres triangles indiqués dans \sLjig. 21 {*):

Triangulation de (fig. 21).

Triangle ABO A = 70" 2 1 ' 4o"

Base mesurée AB = 941 '",60 B= 72° 3'3o"