Si l'instrument était construit de telle manière que

MESLIIE DES BASES ET DES AJSGLES. 37

la ligne des zéros des verniers passât constamment par le centre du limbe, la double lecture serait inutile; car alors la division indiquée par le vernier qui correspondait primitivement à zéro étant w , pour Tautre vernier la division indiquée serait w -f- 180° : la double lecture a pour but d'éviter les opérations délicates que l'on serait obligé de faire pour corriger l'instrument dans le cas où la condition énoncée ne serait pas remplie. C'est surtout en cela que consiste la supériorité du cercle sur le graphomètre.

La lunette inférieure Q ne sert, comme nous l'avons vu , que pour vérifier, à la fin de l'opération, que l'instrument ne s'est pas dérangé. Aussi construit-on beaucoup de cercles qui ne portent que la seule lunette supérieure.

63. Nous avons dit que le limbe E était divisé en degrés et en quarts de degré; c'est ordinairement la plus petite division employée. Le vernier permet d'évaluer des vingtièmes de division, ce qui donne les angles à 45 secondes près.

On peut obtenir une approximation plus grande en /'Cpétant les angles , c'est-à-dire en mesurant un angle double , triple , quadruple , etc. , de celui qu'on veut évaluer. On conçoit alors que l'erreur de lecture pourra être rendue deux , trois, quatre, etc., fois moindre; mais, dans la plupart des cas, on néglige de faire cette répétition : aussi croyons-nous devoir nous borner à l'indication qui précède (*).

Réduction des angles aux centres des stations.

64. Il arrive souvent que le sommet C de l'angle ACB, qu'on veut mesurer [fig- 19)? ^st un point inaccessible,

(*) Le cercle ne peut servir, comme on voit, qu'à faire connaître les angles horizontaux ; il suffit pour l'objet que nous avons en vue. Quand on a besoin de mesurer des angles verticaux , on se sert d'un autre instrumcnl appelé ihéodolue. Le théodolite n'est aulre chose qu'un cercle dans lequel un limbe vertical est lixc au support de la lunette supcrieure.

comme le centre d'une tour ou d'un clocher 5 alors on place l'instrument en un point voisin O où l'on puissa stationner, et l'on mesure Tangle AOB : l'opération par laquelle on déduit de cette mesure la valeur de l'angle cherché, est dite réduction de V angle au centre de station, Voîci comment on peut l'effectuer.

Soit I le point d'intersection des droites CB et OA. Dans le cas de la Jig, 19 , les points A et B sont situés d'un même côté de CO; alors les triangles AlC et BIO ayant un angle commun en I , on a

CAO -f- ACB = CBO -4- AOB , d'où

ACB = AOB 4- CBO — CAO ;

et la question sera résolue, si l'on peut obtenir les angles CBO et CAO- Dans le triangle CBO, ou a la proportion ,

CO sin CBO CB "~ sin COB ' d'où

CO sin CBO == TT^ sin COB ; CB

on a de même , par le triangle CAO,

CO sin CAO = -- sin COA , CA

et , en divisant par sin 1"^ il vient *

sin CBO CO sin COB sin CAO CO sin COA sini""~CB' sini"' IST^"" "~ CÂ lînT^ '

Or les angles CBO et CAO sont , en général , assez petits

, sin CBO sin CAO ,

pour qu on puisse remplacer — ; — ^^ et — ; — ~ par les rapports des angles CBO et CAO à l'angle de i"-^ par conséquent , les valeurs des angles CBO et CAO en secondes seront

données par les formules

^«^ CO sin COB ^ , ^ CBO = T^ir —, — TT 9 CAO =

CO sin COA

CE sini" ' CA sini" '

on aura donc , pour la valeur de l'angle ACB ,

. ^« ^^ . sin COB sin COA ACB = AOB H- CO

CBsim" CAsini"^

Ainsi , pour connaître Tangle ACB, il faut mesurer Tun des angles COB, COA et la longueur CO. Il est nécessaire aussi de connaître CB et CA-, mais Topération devient inutile si l'on n'a pas besoin d'une très-grande précision, et si la distance CO est très-petite. La formule précédente fait voir, en effet , que dans ce cas on a sensiblement- ACB = AOB.

65/ Exemple. — On a AOB=:35*>43'3o'', COA=86«45'io", COB=:i8o«— (57°3i'2o' ), CO = 8°»,5, CA = 2i82",5, CB = i883«,5.

Calcul de CBO.

^r>^ CO sin COB ^^^ = CBlïïï7^'

»og8,5 0,9294189

compllog i883y5. 6, 7260344 logsin(57°3i'2o"). 9,9261365 compllogsin i'\ . . 5,3i44^Si

log CBO 2 ,8950149

CBO = 785",26,

ACB = 35«43'3o" + ( 785,26

Calcul de CAO.

^ , ^ CO sin COA

CAO = j^ —, — jf- ' CA sm i''

log8,5 0,9294189

compl log 2182,5. 6,6610457 logsin(86"45'io"). 9,99^3021 compl log sin 1 '^ . . 5. 3 1 44^-5 1

logCAO 2,8041918

CAO = 637>8,

Remarque. — Si les deux points A et B sont de côté et d'autre de CO , la formule

ACB = AOB + CBO — CAO doit cire remplacée par

ACB = AOB ± (CBO -f- CAO), ainsi qu'on s'en assure aisément.

4o QUATRIÈME LEÇON